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Ondas mecánicas: armónicas y estacionarias

Comunidad de Madrid · 2021 · Junio (coincidentes)

Enunciado

Una onda transversal se propaga en el sentido positivo del eje

x

con una velocidad de

2\,\text{m}\,\text{s}^{-1}

. La onda tiene una amplitud de

2\,\text{cm}

y una frecuencia angular de

\pi/2\,\text{rad}\,\text{s}^{-1}

. Si en el instante

t = 0\,\text{s}

el punto situado en el origen de coordenadas tiene una aceleración máxima y positiva, calcule:

a) La expresión matemática de la onda.

b) La velocidad de oscilación de un punto situado en

x = 3\,\text{m}

en el instante

t = 10\,\text{s}

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;y(x,t) = 0{,}02\,\text{sen}\left(\frac{\pi}{2}t - \frac{\pi}{4}x - \frac{\pi}{2}\right)\ \text{m}\;}

\boxed{\;v_y(3\ \text{m},\,10\ \text{s}) = 2{,}22\cdot 10^{-2}\ \text{m}\,\text{s}^{-1}\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

En a) hay que reunir las cuatro piezas de

y(x,t) = A\,\text{sen}(\omega t - kx + \varphi_0)

: la amplitud y

\omega

las da el enunciado; el número de onda sale de

k = \omega/v

; y el signo

-kx

es porque la onda va hacia

+x

. Queda la fase inicial, que se saca de la condición en el origen: cada punto de la cuerda hace un MAS, con

a = -\omega^2 y

, así que la aceleración es máxima y positiva cuando el punto está en el extremo inferior,

y = -A

.

En b) se deriva

y(x,t)

respecto del tiempo y se sustituye

x = 3\,\text{m}

t = 10\,\text{s}

, con la calculadora en radianes.

Desarrollo

a) Datos:

A = 0{,}02\,\text{m}

\omega = \pi/2\,\text{rad}\,\text{s}^{-1}

v = 2\,\text{m}\,\text{s}^{-1}

. Periodo, longitud de onda y número de onda:

T = \frac{2\pi}{\omega} = 4\ \text{s}\qquad \lambda = vT = 8\ \text{m}\qquad k = \frac{\omega}{v} = \frac{2\pi}{\lambda} = \frac{\pi}{4}\ \text{rad}\,\text{m}^{-1}

La onda tiene la forma

y(x,t) = 0{,}02\,\text{sen}\left(\frac{\pi}{2}t - \frac{\pi}{4}x + \varphi_0\right)\ \text{m}

y la aceleración de cada punto es

a(x,t) = \frac{\partial^2 y}{\partial t^2} = -A\omega^2\,\text{sen}\left(\frac{\pi}{2}t - \frac{\pi}{4}x + \varphi_0\right)

En el origen y en

t = 0

a(0,0) = -A\omega^2\,\text{sen}\,\varphi_0

. Para que sea máxima y positiva (

+A\omega^2

) hace falta

\text{sen}\,\varphi_0 = -1

, es decir,

\varphi_0 = -\pi/2

(o, lo que es lo mismo,

3\pi/2

). El punto está en

y = -A

, el extremo inferior:

\boxed{\;y(x,t) = 0{,}02\,\text{sen}\left(\frac{\pi}{2}t - \frac{\pi}{4}x - \frac{\pi}{2}\right)\ \text{m}\;}

b) Velocidad de oscilación:

v_y(x,t) = \frac{\partial y}{\partial t} = 0{,}02\cdot\frac{\pi}{2}\cos\left(\frac{\pi}{2}t - \frac{\pi}{4}x - \frac{\pi}{2}\right) = 0{,}01\pi\cos\left(\frac{\pi}{2}t - \frac{\pi}{4}x - \frac{\pi}{2}\right)\ \text{m}\,\text{s}^{-1}

x = 3\,\text{m}

t = 10\,\text{s}

la fase vale

\frac{\pi}{2}\cdot 10 - \frac{\pi}{4}\cdot 3 - \frac{\pi}{2} = 5\pi - \frac{3\pi}{4} - \frac{\pi}{2} = \frac{15\pi}{4}

y como

\cos(15\pi/4) = \cos(-\pi/4) = \sqrt 2/2

v_y(3,\,10) = 0{,}01\pi\cdot\frac{\sqrt 2}{2} = 2{,}22\cdot 10^{-2}\ \text{m}\,\text{s}^{-1}

Positiva: en ese instante el punto sube (está en

y = -0{,}014\,\text{m}

, por debajo de la posición de equilibrio, camino de ella).

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

«Aceleración máxima y positiva» no significa que el punto vaya rápido: en un MAS la aceleración es $-\omega^2 y$ , así que es máxima en el extremo inferior, donde la velocidad es cero. Traduce siempre la condición a una posición antes de buscar $\varphi_0$ .

No confundas la velocidad de propagación ( $2\,\text{m}\,\text{s}^{-1}$ , constante) con la de oscilación de cada punto, que cambia con el tiempo y nunca pasa de $A\omega \approx 0{,}031\,\text{m}\,\text{s}^{-1}$ .