FísicaFácil2 pts

Satélites, órbitas y leyes de Kepler

Comunidad de Madrid · 2021 · Junio (coincidentes)
Enunciado
Consideremos un sistema completamente aislado formado por una bola de 6 kg6\,\text{kg} de masa y un perdigón de 0,35 g0{,}35\,\text{g}. Si dicho perdigón describe una trayectoria circular de radio 2,5 m2{,}5\,\text{m} en torno a la bola y únicamente se considera la interacción gravitatoria entre ambas partículas, calcule:

a) El periodo de revolución del perdigón alrededor de la bola.

b) La energía extra mínima que habría que suministrar al perdigón para que escape del campo gravitatorio de la bola.

Dato: Constante de Gravitación Universal, G=6,67⋅10−11 N m2 kg−2G = 6{,}67\cdot 10^{-11}\,\text{N}\,\text{m}^2\,\text{kg}^{-2}.
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Resultado
  T=1,24⋅106 s  (≈14,4 dıˊas)  \boxed{\;T = 1{,}24\cdot 10^{6}\ \text{s}\ \ (\approx 14{,}4\ \text{días})\;}  ΔEmin⁡=2,80⋅10−14 J  \boxed{\;\Delta E_{\min} = 2{,}80\cdot 10^{-14}\ \text{J}\;}
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Estrategia

Es un «satélite» de juguete: la bola hace de planeta y el perdigón de satélite. Las cuentas son las de siempre, solo que con masas pequeñísimas, así que la órbita será lentísima y las energías, ridículas.

En a) la fuerza gravitatoria es la fuerza centrípeta de la órbita circular: de ahí sale la velocidad orbital y, con T=2πr/vT = 2\pi r/v, el periodo (o directamente la tercera ley de Kepler).

En b) el perdigón escapa cuando su energía mecánica llega a cero. En órbita circular su energía mecánica es Em=−GMm2rE_m = -\dfrac{GMm}{2r}, así que la energía mínima que hay que darle es justo el valor absoluto de esa cantidad. Lo primero, pasar los gramos a kilogramos: m=3,5⋅10−4 kgm = 3{,}5\cdot 10^{-4}\,\text{kg}.
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Desarrollo

a) Igualamos la atracción gravitatoria a la fuerza centrípeta, con M=6 kgM = 6\,\text{kg} y r=2,5 mr = 2{,}5\,\text{m}:GMmr2=mv2r⟹v=GMr=6,67⋅10−11⋅62,5=1,27⋅10−5 m s−1\frac{GMm}{r^2} = \frac{m v^2}{r}\quad\Longrightarrow\quad v = \sqrt{\frac{GM}{r}} = \sqrt{\frac{6{,}67\cdot 10^{-11}\cdot 6}{2{,}5}} = 1{,}27\cdot 10^{-5}\ \text{m}\,\text{s}^{-1}El periodo es el tiempo que tarda en recorrer la circunferencia:T=2πrv=2πr3GM=2π2,536,67⋅10−11⋅6=1,24⋅106 sT = \frac{2\pi r}{v} = 2\pi\sqrt{\frac{r^3}{GM}} = 2\pi\sqrt{\frac{2{,}5^3}{6{,}67\cdot 10^{-11}\cdot 6}} = 1{,}24\cdot 10^{6}\ \text{s}Son unos 14,414{,}4 días para dar una vuelta de 2,5 m2{,}5\,\text{m} de radio: la atracción de una bola de 6 kg6\,\text{kg} es tan débil que la órbita es lentísima.

b) Energía mecánica del perdigón en la órbita. Con v2=GM/rv^2 = GM/r, la energía cinética es la mitad del valor absoluto de la potencial:Em=12mv2−GMmr=GMm2r−GMmr=−GMm2rE_m = \frac{1}{2}mv^2 - \frac{GMm}{r} = \frac{GMm}{2r} - \frac{GMm}{r} = -\frac{GMm}{2r}Em=−6,67⋅10−11⋅6⋅3,5⋅10−42⋅2,5=−2,80⋅10−14 JE_m = -\frac{6{,}67\cdot 10^{-11}\cdot 6\cdot 3{,}5\cdot 10^{-4}}{2\cdot 2{,}5} = -2{,}80\cdot 10^{-14}\ \text{J}Para escapar, el perdigón tiene que llegar al infinito (donde Ep=0E_p = 0) al menos con velocidad nula, es decir, con Em=0E_m = 0. La energía mínima que hay que suministrarle es:ΔE=0−Em=GMm2r=2,80⋅10−14 J\Delta E = 0 - E_m = \frac{GMm}{2r} = 2{,}80\cdot 10^{-14}\ \text{J}
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Consejo

En órbita circular, Ec=−12EpE_c = -\tfrac{1}{2}E_p y Em=12Ep=−GMm2rE_m = \tfrac{1}{2}E_p = -\dfrac{GMm}{2r}. Merece la pena deducirlo una vez y tenerlo a mano: la «energía para escapar desde la órbita» es siempre GMm2r\dfrac{GMm}{2r}.

No confundas esta energía con la que haría falta para escapar desde el reposo a esa distancia, que sería GMmr\dfrac{GMm}{r}, el doble: el perdigón ya tiene la mitad gracias a su energía cinética.
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