FísicaFácilProblema · 2 pts

Radiactividad y desintegración

Comunidad de Madrid · 2021 · Junio

Enunciado

Un isótopo de una muestra radiactiva posee un periodo de semidesintegración de

5730

años.

a) Obtenga la vida media y la constante radiactiva del isótopo.

b) Si una muestra tiene

5\cdot 10^{20}

átomos radiactivos en el momento inicial, calcule la actividad inicial y el tiempo que debe trascurrir para que dicha actividad se reduzca a la décima parte.

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Resultado

\boxed{\;\tau = 2{,}61\cdot 10^{11}\ \text{s}\ (\approx 8267\ \text{años})\qquad \lambda = 3{,}84\cdot 10^{-12}\ \text{s}^{-1}\;}

\boxed{\;A_0 = 1{,}92\cdot 10^{9}\ \text{Bq}\qquad t = 6{,}00\cdot 10^{11}\ \text{s}\approx 1{,}90\cdot 10^{4}\ \text{años}\;}

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Estrategia

El periodo de semidesintegración, la constante radiactiva y la vida media son tres formas de decir lo mismo:

\lambda = \ln 2/T_{1/2}

\tau = 1/\lambda

. Para dar la actividad en becquerelios (desintegraciones por segundo) hay que trabajar en segundos.

En b) la actividad es

A = \lambda N

. Como

N

decae exponencialmente, la actividad también:

A = A_0\,e^{-\lambda t}

. Para que quede la décima parte se despeja

t

tomando logaritmos.

Desarrollo

a) Pasamos el periodo a segundos (con años de 365 días):

T_{1/2} = 5730\cdot 365\cdot 24\cdot 3600 = 1{,}807\cdot 10^{11}\ \text{s}

Constante radiactiva:

\lambda = \frac{\ln 2}{T_{1/2}} = \frac{0{,}693}{1{,}807\cdot 10^{11}} = 3{,}84\cdot 10^{-12}\ \text{s}^{-1}\quad\left(= 1{,}21\cdot 10^{-4}\ \text{años}^{-1}\right)

Vida media:

\tau = \frac{1}{\lambda} = \frac{T_{1/2}}{\ln 2} = 2{,}61\cdot 10^{11}\ \text{s}\quad\left(\approx 8267\ \text{años}\right)

b) Actividad inicial, con

N_0 = 5\cdot 10^{20}

núcleos:

A_0 = \lambda N_0 = 3{,}836\cdot 10^{-12}\cdot 5\cdot 10^{20} = 1{,}92\cdot 10^{9}\ \text{Bq}

La actividad decae como

A = A_0\,e^{-\lambda t}

. Para

A = A_0/10

\frac{A_0}{10} = A_0\,e^{-\lambda t}\quad\Longrightarrow\quad \lambda t = \ln 10\quad\Longrightarrow\quad t = \frac{\ln 10}{\lambda} = \tau\ln 10

t = 2{,}607\cdot 10^{11}\cdot 2{,}303 = 6{,}00\cdot 10^{11}\ \text{s}\approx 1{,}90\cdot 10^{4}\ \text{años}

Tiene sentido: tras tres periodos quedaría

1/8

y tras cuatro,

1/16

; la décima parte llega entre medias, a unos

3{,}3

periodos.

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

No confundas la vida media $\tau$ con el periodo de semidesintegración $T_{1/2}$ : la vida media es mayor, $\tau = T_{1/2}/\ln 2$ .

La actividad va en becquerelios, que son desintegraciones por segundo: si usas $\lambda$ en años $^{-1}$ obtendrás desintegraciones por año. Comprueba las unidades de $\lambda$ antes de multiplicar por $N_0$ .

Paso 1 de 3

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