FísicaMedioProblema · 2 pts

Luz: reflexión, refracción y ondas electromagnéticas

Comunidad de Madrid · 2021 · Junio
Enunciado
Un rayo láser, que emite luz de longitud de onda de 488 nm488\,\text{nm} en el vacío, incide desde el aire sobre la superficie plana de un material con un índice de refracción de 1,551{,}55. El rayo incidente y el reflejado forman entre sí un ángulo de 60∘60^\circ.

a) Determine la frecuencia y la longitud de onda del rayo luminoso en el aire y dentro del medio material.

b) Calcule el ángulo que formará el rayo refractado en el material con el rayo reflejado en el aire. ¿Existirá algún ángulo de incidencia para el cual el rayo láser sufra reflexión total? Justifique la respuesta.

Datos: Índice de refracción del aire, naire=1n_{\text{aire}} = 1; Velocidad de la luz en el vacío, c=3⋅108 m s−1c = 3\cdot 10^{8}\,\text{m}\,\text{s}^{-1}.
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Resultado
  f=6,15⋅1014 Hz (en los dos medios)λaire=488 nmλmaterial=315 nm  \boxed{\;f = 6{,}15\cdot 10^{14}\ \text{Hz}\ \text{(en los dos medios)}\qquad \lambda_{\text{aire}} = 488\ \text{nm}\qquad \lambda_{\text{material}} = 315\ \text{nm}\;}  α=131,2∘No hay reflexioˊn total: la luz pasa a un medio de mayor ıˊndice  \boxed{\;\alpha = 131{,}2^\circ\qquad \text{No hay reflexión total: la luz pasa a un medio de mayor índice}\;}
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Estrategia

Al cambiar de medio, la frecuencia no cambia (la fija la fuente); lo que cambia es la velocidad y, con ella, la longitud de onda, que se divide por el índice de refracción.

En b) lo primero es sacar el ángulo de incidencia: como el reflejado forma con la normal el mismo ángulo que el incidente, los 60∘60^\circ entre ambos se reparten a partes iguales. Con la ley de Snell sale el ángulo de refracción, y un dibujo con la normal muestra que el ángulo entre el rayo reflejado y el refractado es lo que falta para completar 180∘180^\circ.

La reflexión total solo ocurre cuando la luz pasa a un medio de menor índice; aquí va del aire (n=1n = 1) a un medio de n=1,55n = 1{,}55.
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Desarrollo

a) Frecuencia, igual en el aire y en el material:f=cλ0=3⋅108488⋅10−9=6,15⋅1014 Hzf = \frac{c}{\lambda_0} = \frac{3\cdot 10^{8}}{488\cdot 10^{-9}} = 6{,}15\cdot 10^{14}\ \text{Hz}En el aire, con naire=1n_{\text{aire}} = 1, la longitud de onda es la del vacío: λaire=488 nm\lambda_{\text{aire}} = 488\,\text{nm}. En el material la luz va a v=c/nv = c/n y la longitud de onda se reduce en el mismo factor:λ=vf=cnf=λ0n=4881,55=315 nm=3,15⋅10−7 m\lambda = \frac{v}{f} = \frac{c}{n f} = \frac{\lambda_0}{n} = \frac{488}{1{,}55} = 315\ \text{nm} = 3{,}15\cdot 10^{-7}\ \text{m}b) Los ángulos de incidencia y de reflexión (medidos desde la normal) son iguales y suman 60∘60^\circ:2 θi=60∘⟹θi=θr=30∘2\,\theta_i = 60^\circ\quad\Longrightarrow\quad \theta_i = \theta_r = 30^\circLey de Snell para el rayo refractado:nairesin⁡θi=n sin⁡θt⟹sin⁡θt=1⋅sin⁡30∘1,55=0,323⟹θt=18,8∘n_{\text{aire}}\sin\theta_i = n\,\sin\theta_t\quad\Longrightarrow\quad \sin\theta_t = \frac{1\cdot\sin 30^\circ}{1{,}55} = 0{,}323\quad\Longrightarrow\quad \theta_t = 18{,}8^\circ
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El rayo reflejado forma 30∘30^\circ con la normal por encima de la superficie y el refractado, 18,8∘18{,}8^\circ con la normal por debajo, al otro lado. Como la normal es una recta (180∘180^\circ), el ángulo entre ambos rayos es:α=180∘−θr−θt=180∘−30∘−18,8∘=131,2∘\alpha = 180^\circ - \theta_r - \theta_t = 180^\circ - 30^\circ - 18{,}8^\circ = 131{,}2^\circReflexión total. Para que haya reflexión total tiene que existir un ángulo límite con sin⁡θL=n2/n1≤1\sin\theta_L = n_2/n_1 \le 1, es decir, la luz debe pasar a un medio de índice menor. Aquí pasa del aire (n1=1n_1 = 1) al material (n2=1,55n_2 = 1{,}55):sin⁡θL=1,551=1,55>1⟹no existe aˊngulo lıˊmite\sin\theta_L = \frac{1{,}55}{1} = 1{,}55 > 1\quad\Longrightarrow\quad \text{no existe ángulo límite}Incluso con incidencia rasante (θi→90∘\theta_i\to 90^\circ), el rayo se refracta con sin⁡θt=1/1,55\sin\theta_t = 1/1{,}55, es decir, θt=40,2∘\theta_t = 40{,}2^\circ. No hay ningún ángulo de incidencia con reflexión total.
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Consejo

Los 60∘60^\circ del enunciado son el ángulo entre el incidente y el reflejado, no el de incidencia: cada uno forma 30∘30^\circ con la normal. Si tomas θi=60∘\theta_i = 60^\circ, todo el apartado b) sale mal.

Haz siempre el dibujo con la normal: el ángulo entre reflejado y refractado no se calcula con ninguna fórmula, se ve en el esquema.
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