FísicaMedioProblema · 2 pts

Campo y potencial gravitatorio

Comunidad de Madrid · 2021 · Junio

Enunciado

Una masa puntual de

50\,\text{g}

se encuentra situada en la posición

(8,\,0)\,\text{m}

del plano

xy

. Calcule:

a) El potencial gravitatorio y el campo gravitatorio en el punto

(0,\,6)\,\text{m}

del plano debido a dicha masa.

b) El trabajo realizado por el campo al trasladar un objeto puntual de

20\,\text{g}

desde el punto

(0,\,6)\,\text{m}

hasta el origen de coordenadas.

Datos: Constante de Gravitación Universal,

G = 6{,}67\cdot 10^{-11}\,\text{N}\,\text{m}^2\,\text{kg}^{-2}

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;V_P = -3{,}34\cdot 10^{-13}\ \text{J}\,\text{kg}^{-1}\qquad \vec g = 2{,}67\cdot 10^{-14}\,\vec i - 2{,}00\cdot 10^{-14}\,\vec j\ \ \text{N}\,\text{kg}^{-1}\;}

\boxed{\;W_{P\to O} = 1{,}67\cdot 10^{-15}\ \text{J}\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Las masas son minúsculas, así que saldrán números ridículamente pequeños: no te asustes, es lo esperable. Lo primero es pasar los gramos a kilogramos.

En a) el potencial es un escalar,

-GM/r

, y solo hace falta la distancia de la masa al punto. El campo es un vector: su módulo es

GM/r^2

y apunta desde el punto hacia la masa, así que conviene sacar el vector unitario de esa dirección para dar las componentes.

En b) el campo gravitatorio es conservativo: su trabajo solo depende de los puntos inicial y final,

W = -m\,\Delta V

. Basta con calcular el potencial en el origen y restar.

Desarrollo

a) La masa

M = 0{,}050\,\text{kg}

está en

A(8,\,0)

y el punto es

P(0,\,6)

. Distancia entre ambos:

d = \sqrt{8^2 + 6^2} = 10\ \text{m}

Potencial gravitatorio en

P

V_P = -\frac{GM}{d} = -\frac{6{,}67\cdot 10^{-11}\cdot 0{,}050}{10} = -3{,}34\cdot 10^{-13}\ \text{J}\,\text{kg}^{-1}

Módulo del campo en

P

g = \frac{GM}{d^2} = \frac{6{,}67\cdot 10^{-11}\cdot 0{,}050}{10^2} = 3{,}34\cdot 10^{-14}\ \text{N}\,\text{kg}^{-1}

El campo apunta de

P

hacia la masa, es decir, en la dirección del vector

\overrightarrow{PA} = (8,\,-6)

, cuyo unitario es

(0{,}8;\ -0{,}6)

\vec g = 3{,}335\cdot 10^{-14}\,(0{,}8\,\vec i - 0{,}6\,\vec j) = 2{,}67\cdot 10^{-14}\,\vec i - 2{,}00\cdot 10^{-14}\,\vec j\ \ \text{N}\,\text{kg}^{-1}

b) Potencial en el origen

O

, que está a

8\,\text{m}

de la masa:

V_O = -\frac{GM}{8} = -\frac{6{,}67\cdot 10^{-11}\cdot 0{,}050}{8} = -4{,}17\cdot 10^{-13}\ \text{J}\,\text{kg}^{-1}

Trabajo del campo sobre el objeto de

m = 0{,}020\,\text{kg}

al ir de

P

O

W_{P\to O} = -m\,(V_O - V_P) = -0{,}020\cdot\left(-4{,}169\cdot 10^{-13} + 3{,}335\cdot 10^{-13}\right) = 1{,}67\cdot 10^{-15}\ \text{J}

Sale positivo: el objeto se acerca a la masa (de

10\,\text{m}

8\,\text{m}

), que es hacia donde lo empuja la atracción, así que el campo hace el trabajo de forma espontánea.

Consejo

Para dar el campo en componentes, dibuja la flecha del punto a la masa y comprueba los signos: aquí la masa está a la derecha y abajo de $P$ , así que $g_x > 0$ y $g_y < 0$ .

En el trabajo, no confundas $-m\,\Delta V$ con $m\,\Delta V$ . Un truco para no fallar: si el objeto se acerca a la masa que lo atrae, el campo trabaja a favor y $W$ tiene que salir positivo.