FísicaMedioProblema · 2 pts

Radiactividad y desintegración

Comunidad de Madrid · 2021 · Julio
Enunciado
El patrón del kilogramo es un cilindro hecho con una aleación de platino-iridio (90 %90\,\% en masa de Pt) que se encuentra en un museo de París. El platino está formado por diversos isótopos, uno de ellos, el 190Pt^{190}\text{Pt}, es radiactivo siendo su tiempo de semidesintegración de 6,5⋅10116{,}5\cdot 10^{11} años. El porcentaje del isótopo 190Pt^{190}\text{Pt} en una muestra de platino es del 0,012 %0{,}012\,\% en masa.

a) Calcule la actividad inicial del patrón del kilogramo.

b) ¿Cuál será la masa final del platino 190Pt^{190}\text{Pt} que queda en el patrón del kilogramo transcurridos mil millones de años?

Datos: Masa atómica del isótopo 190Pt^{190}\text{Pt}, M=189,96 uM = 189{,}96\ \text{u}; Número de Avogadro, NA=6,02⋅1023 mol−1N_A = 6{,}02\cdot 10^{23}\ \text{mol}^{-1}.
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Resultado
  A0=11,6 Bq  \boxed{\;A_0 = 11{,}6\ \text{Bq}\;}  m=1,079⋅10−4 kg  (107,9 mg, frente a los 108,0 mg iniciales)  \boxed{\;m = 1{,}079\cdot 10^{-4}\ \text{kg}\ \ (107{,}9\ \text{mg},\ \text{frente a los } 108{,}0\ \text{mg iniciales})\;}
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Estrategia

La actividad es el número de desintegraciones por segundo, A=λNA = \lambda N. Necesitamos dos cosas: cuántos núcleos de 190Pt^{190}\text{Pt} hay en el cilindro y la constante de desintegración. Para lo primero vamos encadenando porcentajes: del kilogramo, el 90 % es platino, y de ese platino, el 0,012 % es el isótopo radiactivo; pasamos esa masa a moles y a núcleos. La constante sale del periodo de semidesintegración, λ=ln⁡2/T1/2\lambda = \ln 2/T_{1/2}, en segundos para que la actividad salga en becquerelios.

En el b) aplicamos la ley de desintegración a la masa del isótopo. Mil millones de años son muy poco comparados con su semivida, así que esperamos que apenas cambie.
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Desarrollo

a) Masa de platino y del isótopo 190Pt^{190}\text{Pt} en el patrón de 1 kg1\ \text{kg}:mPt=0,90⋅1 kg=0,90 kgm0=0,012⋅10−2⋅0,90=1,08⋅10−4 kg=0,108 gm_{\text{Pt}} = 0{,}90\cdot 1\ \text{kg} = 0{,}90\ \text{kg}\qquad m_0 = 0{,}012\cdot 10^{-2}\cdot 0{,}90 = 1{,}08\cdot 10^{-4}\ \text{kg} = 0{,}108\ \text{g}Número de núcleos (la masa molar del isótopo es 189,96 g/mol189{,}96\ \text{g/mol}):N0=m0M NA=0,108 g189,96 g/mol⋅6,02⋅1023 mol−1=3,42⋅1020 nuˊcleosN_0 = \frac{m_0}{M}\,N_A = \frac{0{,}108\ \text{g}}{189{,}96\ \text{g/mol}}\cdot 6{,}02\cdot 10^{23}\ \text{mol}^{-1} = 3{,}42\cdot 10^{20}\ \text{núcleos}Constante de desintegración, con el periodo en segundos:T1/2=6,5⋅1011⋅365⋅24⋅3600=2,05⋅1019 sT_{1/2} = 6{,}5\cdot 10^{11}\cdot 365\cdot 24\cdot 3600 = 2{,}05\cdot 10^{19}\ \text{s}λ=ln⁡2T1/2=0,6932,050⋅1019=3,38⋅10−20 s−1\lambda = \frac{\ln 2}{T_{1/2}} = \frac{0{,}693}{2{,}050\cdot 10^{19}} = 3{,}38\cdot 10^{-20}\ \text{s}^{-1}Actividad inicial:A0=λN0=3,381⋅10−20⋅3,423⋅1020=11,6 BqA_0 = \lambda N_0 = 3{,}381\cdot 10^{-20}\cdot 3{,}423\cdot 10^{20} = 11{,}6\ \text{Bq}Unas doce desintegraciones por segundo en todo el cilindro: una actividad muy pequeña, porque la semivida es enorme.

b) La masa del isótopo sigue la ley de desintegración:m=m0 e−λtconλt=ln⁡2T1/2 t=0,693⋅1096,5⋅1011=1,066⋅10−3m = m_0\,e^{-\lambda t}\qquad\text{con}\qquad \lambda t = \frac{\ln 2}{T_{1/2}}\,t = \frac{0{,}693\cdot 10^{9}}{6{,}5\cdot 10^{11}} = 1{,}066\cdot 10^{-3}(Aquí podemos dejar los tiempos en años: solo importa el cociente.)m=1,08⋅10−4⋅e−1,066⋅10−3=1,0789⋅10−4 kgm = 1{,}08\cdot 10^{-4}\cdot e^{-1{,}066\cdot 10^{-3}} = 1{,}0789\cdot 10^{-4}\ \text{kg}En mil millones de años solo se desintegra el 0,11 %0{,}11\,\% del isótopo, unos 1,15⋅10−7 kg1{,}15\cdot 10^{-7}\ \text{kg} (0,115 mg0{,}115\ \text{mg}): la masa de 190Pt^{190}\text{Pt} pasa de 108,0 mg108{,}0\ \text{mg} a 107,9 mg107{,}9\ \text{mg}.
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Consejo

Para la actividad en becquerelios, λ\lambda tiene que ir en s−1\text{s}^{-1}: pasa la semivida de años a segundos. En cambio, en e−λte^{-\lambda t} basta con que tt y T1/2T_{1/2} estén en la misma unidad.

Cuando el resultado cambia tan poco, da cifras suficientes para que se note: con tres cifras significativas, 1,08⋅10−4 kg1{,}08\cdot 10^{-4}\ \text{kg} parece que no ha pasado nada.
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