FísicaFácilProblema · 2 pts

Luz: reflexión, refracción y ondas electromagnéticas

Comunidad de Madrid · 2021 · Julio
Enunciado
Sean dos medios A y B de índices de refracción nAn_A y nBn_B, respectivamente. Un rayo de luz de frecuencia 6,04⋅1014 Hz6{,}04\cdot 10^{14}\ \text{Hz} incide desde el medio A hacia el medio B, verificándose que el ángulo límite para la reflexión total es 45,58∘45{,}58^\circ. Sabiendo que nA−nB=0,6n_A - n_B = 0{,}6, determine:

a) Los índices de refracción nAn_A y nBn_B de ambos medios.

b) Las longitudes de onda del rayo de luz incidente en los medios A y B.

Dato: Velocidad de la luz en el vacío, c=3⋅108 m s−1c = 3\cdot 10^{8}\ \text{m}\,\text{s}^{-1}.
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Resultado
  nA=2,10nB=1,50  \boxed{\;n_A = 2{,}10\qquad n_B = 1{,}50\;}  λA=237 nmλB=331 nm  \boxed{\;\lambda_A = 237\ \text{nm}\qquad \lambda_B = 331\ \text{nm}\;}
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Estrategia

Que exista ángulo límite yendo de A a B ya nos dice que A es el medio más refringente (nA>nBn_A > n_B), lo que cuadra con nA−nB=0,6n_A - n_B = 0{,}6. En el ángulo límite el rayo refractado sale rasante, a 90∘90^\circ: la ley de Snell da entonces nB=nAsen⁡Ln_B = n_A\operatorname{sen}L. Con esa ecuación y la diferencia de índices tenemos un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas.

Para el b) recordamos que al cambiar de medio la frecuencia no cambia; lo que cambia es la velocidad, v=c/nv = c/n, y con ella la longitud de onda, λ=v/f\lambda = v/f.
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Desarrollo

a) Ley de Snell en el ángulo límite (θA=L\theta_A = L, θB=90∘\theta_B = 90^\circ):nAsen⁡L=nBsen⁡90∘⇒nB=nAsen⁡45,58∘=0,7142 nAn_A\operatorname{sen}L = n_B\operatorname{sen}90^\circ\quad\Rightarrow\quad n_B = n_A\operatorname{sen}45{,}58^\circ = 0{,}7142\,n_ASustituimos en la segunda condición:nA−nB=nA (1−sen⁡L)=0,6⇒nA=0,61−0,7142=2,10n_A - n_B = n_A\,(1 - \operatorname{sen}L) = 0{,}6\quad\Rightarrow\quad n_A = \frac{0{,}6}{1 - 0{,}7142} = 2{,}10nB=nA−0,6=1,50n_B = n_A - 0{,}6 = 1{,}50El medio A es muy refringente (como un diamante, n≈2,4n \approx 2{,}4) y B es como un vidrio.
Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)
b) La frecuencia es la misma en los dos medios. La velocidad en cada uno es v=c/nv = c/n y la longitud de onda λ=v/f\lambda = v/f, así que λ=c/(nf)\lambda = c/(n f):λA=cnAf=3⋅1082,10⋅6,04⋅1014=2,37⋅10−7 m=237 nm\lambda_A = \frac{c}{n_A f} = \frac{3\cdot 10^{8}}{2{,}10\cdot 6{,}04\cdot 10^{14}} = 2{,}37\cdot 10^{-7}\ \text{m} = 237\ \text{nm}λB=cnBf=3⋅1081,50⋅6,04⋅1014=3,31⋅10−7 m=331 nm\lambda_B = \frac{c}{n_B f} = \frac{3\cdot 10^{8}}{1{,}50\cdot 6{,}04\cdot 10^{14}} = 3{,}31\cdot 10^{-7}\ \text{m} = 331\ \text{nm}En el vacío esta luz tendría λ0=c/f=497 nm\lambda_0 = c/f = 497\ \text{nm} (verde azulada). Dentro de cada medio la longitud de onda se acorta en el factor nn, y más en el más refringente.
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Consejo

El ángulo límite solo existe cuando la luz pasa de un medio más refringente a otro menos refringente. Úsalo para comprobar que no has intercambiado los índices: aquí tiene que salir nA>nBn_A > n_B.

Al cambiar de medio la frecuencia se conserva. Si divides cc por la frecuencia sin poner el índice, obtienes la longitud de onda en el vacío, no en el medio.
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