FísicaMedioProblema · 2 pts

Ondas mecánicas: armónicas y estacionarias

Comunidad de Madrid · 2021 · Julio

Enunciado

Una onda transversal se propaga en una cuerda situada a lo largo del eje

x

. La propagación de la onda es en el sentido positivo del eje

x

. La expresión matemática de la onda en los instantes

t = 0\ \text{s}

t = 2\ \text{s}

y(x, 0) = 0{,}1\cos(\pi - 4\pi x)\ \text{m}\qquad\text{e}\qquad y(x, 2) = 0{,}1\cos(11\pi - 4\pi x)\ \text{m},

respectivamente, donde todas las magnitudes están expresadas en el SI de unidades. Calcule:

a) La frecuencia angular y la expresión matemática de la onda.

b) La velocidad de propagación de la onda y la aceleración máxima de oscilación de un punto de la cuerda.

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;\omega = 5\pi\ \text{rad/s}\qquad y(x, t) = 0{,}1\cos(5\pi t - 4\pi x + \pi)\ \text{m}\;}

\boxed{\;v = 1{,}25\ \text{m/s}\qquad a_{\text{máx}} = 24{,}7\ \text{m/s}^2\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Nos dan dos «fotografías» de la cuerda, en

t = 0

y en

t = 2\ \text{s}

. Como la onda va hacia

+x

, su ecuación tiene la forma

y = A\cos(\omega t - kx + \varphi_0)

. Comparando con la foto de

t = 0

leemos directamente la amplitud, el número de onda y la fase inicial. Lo único que cambia entre las dos fotos es el término

\omega t

: la diferencia de fase entre ellas,

10\pi

, es lo que ha avanzado

\omega t

en 2 s.

Con

\omega

k

la velocidad de propagación es

v = \omega/k

. Cada punto de la cuerda hace un MAS de amplitud

A

y frecuencia angular

\omega

, así que su aceleración máxima es

A\omega^2

Desarrollo

a) Onda armónica que avanza en el sentido positivo del eje

x

y(x, t) = A\cos(\omega t - kx + \varphi_0)

t = 0

y(x, 0) = A\cos(-kx + \varphi_0) = 0{,}1\cos(\pi - 4\pi x)

Identificando término a término:

A = 0{,}1\ \text{m}\qquad k = 4\pi\ \text{rad/m}\qquad \varphi_0 = \pi\ \text{rad}

t = 2\ \text{s}

la fase es

2\omega - kx + \varphi_0

, y debe coincidir con

11\pi - 4\pi x

2\omega + \pi = 11\pi\quad\Rightarrow\quad \omega = \frac{10\pi}{2} = 5\pi\ \text{rad/s}

La expresión de la onda queda:

y(x, t) = 0{,}1\cos(5\pi t - 4\pi x + \pi)\ \text{m}

Equivale a

y = -0{,}1\cos(5\pi t - 4\pi x)\ \text{m}

. De aquí,

T = 2\pi/\omega = 0{,}4\ \text{s}

\lambda = 2\pi/k = 0{,}5\ \text{m}

.

La simulación escribe la onda con seno; como

\cos(\theta + \pi) = \operatorname{sen}(\theta - \pi/2)

, su fase inicial es

-\pi/2

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

b) Velocidad de propagación:

v = \frac{\omega}{k} = \frac{5\pi}{4\pi} = 1{,}25\ \text{m/s}

(Igual que

\lambda/T = 0{,}5/0{,}4

.) Derivamos dos veces respecto al tiempo para obtener la velocidad y la aceleración de vibración de un punto:

v_y = \frac{\partial y}{\partial t} = -A\omega\operatorname{sen}(\omega t - kx + \varphi_0)\qquad a_y = \frac{\partial v_y}{\partial t} = -A\omega^2\cos(\omega t - kx + \varphi_0)

La aceleración es máxima cuando el coseno vale

\pm 1

(en los extremos de la oscilación):

a_{\text{máx}} = A\,\omega^2 = 0{,}1\cdot(5\pi)^2 = 2{,}5\pi^2 = 24{,}7\ \text{m/s}^2

Consejo

No confundas la velocidad de propagación de la onda ( $\omega/k$ , constante) con la velocidad y la aceleración de vibración de cada punto, que cambian con el tiempo y cuyos máximos son $A\omega$ y $A\omega^2$ .

En rigor, una fase solo está fijada salvo múltiplos de $2\pi$ , así que dos fotos no determinan $\omega$ de forma única. En el examen se identifican las fases tal como vienen escritas, que es lo que pide el enunciado.