FísicaMedioProblema · 2 pts

Campo y potencial gravitatorio

Comunidad de Madrid · 2021 · Julio

Enunciado

Una partícula de masa

m

se encuentra en el origen de coordenadas de un sistema de referencia

(x, y)

. La componente

x

del campo gravitatorio creado por la partícula en el punto

(2, 2)\ \text{m}

-1{,}18\cdot 10^{-11}\ \text{N}\,\text{kg}^{-1}

.

a) Calcule el valor de la masa

m

.

b) ¿Cuál es el trabajo que realiza el campo para llevar una partícula de masa

M = 5\ \text{kg}

desde el punto

(4, 0)\ \text{m}

al punto

(2, 2)\ \text{m}

?

Dato: Constante de Gravitación Universal,

G = 6{,}67\cdot 10^{-11}\ \text{N}\,\text{m}^2\,\text{kg}^{-2}

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;m = 2{,}00\ \text{kg}\;}

\boxed{\;W_{A\to B} = 6{,}91\cdot 10^{-11}\ \text{J}\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

El campo de una masa puntual apunta siempre hacia ella. En

(2, 2)

apunta hacia el origen, a lo largo de la diagonal, a

45^\circ

de los ejes: su componente

x

es el módulo por

\cos 45^\circ

, con signo negativo. Escribimos el módulo

Gm/r^2

, proyectamos y despejamos

m

.

Para el trabajo no hace falta integrar a lo largo de ningún camino: el campo gravitatorio es conservativo, así que el trabajo que realiza es menos la variación de energía potencial,

W = -M\,(V_B - V_A)

. Solo necesitamos el potencial en los dos puntos, que depende únicamente de la distancia al origen.

Desarrollo

a) Distancia del origen al punto

P(2, 2)

r = \sqrt{2^2 + 2^2} = 2\sqrt{2}\ \text{m}\qquad r^2 = 8\ \text{m}^2

El campo en

P

apunta hacia el origen,

\vec g = -\dfrac{Gm}{r^2}\,\vec u_r

, con

\vec u_r = \dfrac{\vec i + \vec j}{\sqrt 2}

. Su componente

x

g_x = -\frac{Gm}{r^2}\cos 45^\circ\quad\Rightarrow\quad m = \frac{-g_x\,r^2}{G\cos 45^\circ} = \frac{1{,}18\cdot 10^{-11}\cdot 8}{6{,}67\cdot 10^{-11}\cdot 0{,}7071} = 2{,}00\ \text{kg}

El signo de

g_x

es negativo porque el campo tira hacia el origen, que está a la izquierda de

P

.

b) Potencial gravitatorio de la masa

m

, con origen en el infinito:

V = -Gm/r

. En los dos puntos:

A(4, 0):\quad r_A = 4\ \text{m}\qquad V_A = -\frac{6{,}67\cdot 10^{-11}\cdot 2}{4} = -3{,}34\cdot 10^{-11}\ \text{J/kg}

B(2, 2):\quad r_B = 2\sqrt{2}\ \text{m}\qquad V_B = -\frac{6{,}67\cdot 10^{-11}\cdot 2}{2\sqrt 2} = -4{,}72\cdot 10^{-11}\ \text{J/kg}

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

El trabajo del campo es menos la variación de energía potencial:

W_{A\to B} = -\Delta E_p = -M\,(V_B - V_A) = G m M\left(\frac{1}{r_B} - \frac{1}{r_A}\right)

W_{A\to B} = 6{,}67\cdot 10^{-11}\cdot 2\cdot 5\left(\frac{1}{2\sqrt 2} - \frac{1}{4}\right) = 6{,}91\cdot 10^{-11}\ \text{J}

El trabajo es positivo: la partícula se acerca a

m

(pasa de 4 m a 2,83 m), que es justo hacia donde la empuja el campo, y su energía potencial disminuye.

Consejo

Cuando el dato es una componente del campo, no lo confundas con el módulo: aquí $|g_x| = g\cos 45^\circ$ . Si usas $1{,}18\cdot 10^{-11}$ como módulo, la masa te sale $1{,}41\ \text{kg}$ .

Comprueba el signo del trabajo con la física: si la partícula se acerca a la masa que la atrae, el campo hace trabajo positivo.