FísicaFácilProblema · 2 pts

Núcleo atómico y reacciones nucleares

También trata: Dualidad onda-corpúsculo e incertidumbre

Comunidad de Madrid · 2021 · Julio

Enunciado

En un experimento realizado en un acelerador de partículas se han originado un electrón relativista de velocidad

0{,}75c

, siendo

c

la velocidad de la luz, y un fotón de

15\ \text{MeV}

de energía.

a) Calcule la masa relativista y la energía cinética del electrón.

b) Determine la longitud de onda del fotón y la longitud de de Broglie del electrón.

Datos: Valor absoluto de la carga del electrón,

e = 1{,}6\cdot 10^{-19}\ \text{C}

; Masa del electrón en reposo,

m_e = 9{,}1\cdot 10^{-31}\ \text{kg}

; Constante de Planck,

h = 6{,}63\cdot 10^{-34}\ \text{J}\,\text{s}

; Velocidad de la luz en el vacío,

c = 3\cdot 10^{8}\ \text{m}\,\text{s}^{-1}

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;m = 1{,}38\cdot 10^{-30}\ \text{kg}\qquad E_c = 4{,}19\cdot 10^{-14}\ \text{J}\ (0{,}262\ \text{MeV})\;}

\boxed{\;\lambda_{\text{fotón}} = 8{,}29\cdot 10^{-14}\ \text{m}\qquad \lambda_{\text{electrón}} = 2{,}14\cdot 10^{-12}\ \text{m}\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

0{,}75c

el electrón ya no se puede tratar con la mecánica clásica: su masa crece con el factor de Lorentz

\gamma

, y su energía cinética es la diferencia entre la energía total

mc^2

y la energía en reposo

m_0c^2

(no

\tfrac12 mv^2

).

En el b) hay dos objetos distintos. El fotón no tiene masa: su longitud de onda sale de

E = hc/\lambda

, con la energía pasada de MeV a julios. Para el electrón usamos la relación de De Broglie,

\lambda = h/p

, con el momento relativista

p = m v

, usando la masa relativista del apartado anterior.

Desarrollo

a) Factor de Lorentz para

v = 0{,}75c

\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - v^2/c^2}} = \frac{1}{\sqrt{1 - 0{,}75^2}} = \frac{1}{\sqrt{0{,}4375}} = 1{,}512

Masa relativista:

m = \gamma\,m_0 = 1{,}512\cdot 9{,}1\cdot 10^{-31} = 1{,}38\cdot 10^{-30}\ \text{kg}

La energía cinética es la energía total menos la energía en reposo:

E_c = m c^2 - m_0 c^2 = (\gamma - 1)\,m_0 c^2 = 0{,}512\cdot 9{,}1\cdot 10^{-31}\cdot(3\cdot 10^{8})^2 = 4{,}19\cdot 10^{-14}\ \text{J}

Equivale a

4{,}19\cdot 10^{-14}/1{,}6\cdot 10^{-13} = 0{,}262\ \text{MeV}

. Con la fórmula clásica,

\tfrac12 m_0 v^2

, saldrían

2{,}30\cdot 10^{-14}\ \text{J}

: casi la mitad.

b) Fotón. Pasamos su energía a julios:

E = 15\cdot 10^{6}\ \text{eV}\cdot 1{,}6\cdot 10^{-19}\ \text{J/eV} = 2{,}4\cdot 10^{-12}\ \text{J}

E = \frac{h c}{\lambda_f}\quad\Rightarrow\quad \lambda_f = \frac{h c}{E} = \frac{6{,}63\cdot 10^{-34}\cdot 3\cdot 10^{8}}{2{,}4\cdot 10^{-12}} = 8{,}29\cdot 10^{-14}\ \text{m}

Una longitud de onda del orden del tamaño de un núcleo: es un fotón gamma.

Electrón. Momento lineal relativista:

p = m v = 1{,}376\cdot 10^{-30}\cdot 0{,}75\cdot 3\cdot 10^{8} = 3{,}10\cdot 10^{-22}\ \text{kg}\,\text{m/s}

Longitud de onda de De Broglie:

\lambda_e = \frac{h}{p} = \frac{6{,}63\cdot 10^{-34}}{3{,}096\cdot 10^{-22}} = 2{,}14\cdot 10^{-12}\ \text{m}

Consejo

Si una partícula va a una fracción apreciable de $c$ , no uses $\tfrac12 mv^2$ : la energía cinética es $(\gamma - 1)m_0c^2$ , y el momento, $\gamma m_0 v$ .

Para el fotón no sirve $\lambda = h/(mv)$ , porque no tiene masa: usa $E = hc/\lambda$ (o, lo que es lo mismo, $p = E/c$ ).