FísicaMedioProblema · 2 pts

Óptica geométrica: lentes y espejos

Comunidad de Madrid · 2021 · Julio

Enunciado

Sea un sistema óptico formado por dos lentes convergentes, una lente A de distancia focal

f'_A

y otra B, situada

80\ \text{cm}

a la derecha de A, de distancia focal

f'_B = 30\ \text{cm}

. Un objeto de

5\ \text{cm}

de altura está situado

15\ \text{cm}

a la izquierda de la lente A.

a) Si la imagen del objeto formada por el sistema de lentes aparece

75\ \text{cm}

a la derecha de la lente B, ¿cuánto vale la distancia focal de la lente A y el tamaño de la imagen formada por el sistema de lentes?

b) ¿Dónde hay que situar el objeto a la izquierda de la lente A, para que el sistema de lentes forme la imagen en el infinito?

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Resultado

\boxed{\;f'_A = 10\ \text{cm}\qquad y' = 15\ \text{cm}\ \ (\text{real y derecha},\ M = 3)\;}

\boxed{\;s_A = -12{,}5\ \text{cm}\ \ (12{,}5\ \text{cm a la izquierda de A})\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

En un sistema de dos lentes, la imagen de la primera hace de objeto para la segunda. Aquí conocemos el final de la cadena (la imagen definitiva) y no la lente A, así que vamos hacia atrás: con la imagen final y la focal de B averiguamos dónde está el objeto de B, que es la imagen que forma A. Sabiendo dónde forma A su imagen y dónde está el objeto, la ecuación de las lentes nos da

f'_A

. El tamaño final sale de encadenar los dos aumentos.

En el b), para que la imagen final se vaya al infinito, el objeto de B tiene que estar en su foco objeto. Eso fija dónde debe formar A su imagen, y de ahí sale dónde poner el objeto. Usamos el convenio de signos habitual: distancias medidas desde cada lente, positivas hacia la derecha.

Desarrollo

Ecuación de las lentes delgadas y aumento lateral:

\frac{1}{s'} - \frac{1}{s} = \frac{1}{f'}\qquad\qquad M = \frac{y'}{y} = \frac{s'}{s}

a) Lente B. La imagen final está a

s'_B = +75\ \text{cm}

f'_B = 30\ \text{cm}

\frac{1}{s_B} = \frac{1}{s'_B} - \frac{1}{f'_B} = \frac{1}{75} - \frac{1}{30} = \frac{2 - 5}{150} = -\frac{1}{50}\quad\Rightarrow\quad s_B = -50\ \text{cm}

El objeto de B (la imagen de A) está 50 cm a la izquierda de B. Como las lentes distan 80 cm, esa imagen está

80 - 50 = 30\ \text{cm}

a la derecha de A:

s'_A = +30\ \text{cm}\qquad s_A = -15\ \text{cm}

Lente A. Aplicamos la ecuación de las lentes:

\frac{1}{f'_A} = \frac{1}{s'_A} - \frac{1}{s_A} = \frac{1}{30} + \frac{1}{15} = \frac{3}{30}\quad\Rightarrow\quad f'_A = 10\ \text{cm}

Positiva, como debe ser en una lente convergente.

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Tamaño de la imagen. Aumento de cada lente:

M_A = \frac{s'_A}{s_A} = \frac{30}{-15} = -2\quad\Rightarrow\quad y'_A = -2\cdot 5 = -10\ \text{cm}

M_B = \frac{s'_B}{s_B} = \frac{75}{-50} = -1{,}5\quad\Rightarrow\quad y'_B = -1{,}5\cdot(-10) = 15\ \text{cm}

El aumento total es

M = M_A\,M_B = 3

: la imagen final es real (está a la derecha de B), derecha (las dos inversiones se compensan) y tres veces mayor que el objeto,

15\ \text{cm}

.

b) Para que la imagen final esté en el infinito (

s'_B\to\infty

), el objeto de B debe estar en su foco objeto, 30 cm a la izquierda de B:

s_B = -f'_B = -30\ \text{cm}

Es decir, la lente A tiene que formar su imagen

80 - 30 = 50\ \text{cm}

a su derecha,

s'_A = +50\ \text{cm}

. Con

f'_A = 10\ \text{cm}

\frac{1}{s_A} = \frac{1}{s'_A} - \frac{1}{f'_A} = \frac{1}{50} - \frac{1}{10} = \frac{1 - 5}{50} = -\frac{2}{25}\quad\Rightarrow\quad s_A = -12{,}5\ \text{cm}

El objeto debe colocarse

12{,}5\ \text{cm}

a la izquierda de la lente A. Tiene sentido: al acercarlo al foco de A (10 cm), su imagen se aleja de 30 cm a 50 cm.

Consejo

En los sistemas de dos lentes, cambia de origen en cada lente: la imagen de A está a $s'_A$ de A, pero para B hay que medirla desde B, $s_B = s'_A - d$ . Olvidar este cambio es el fallo más común.

«Imagen en el infinito» se traduce siempre como «objeto en el foco objeto» de la última lente.