Campo magnético creado por corrientes

a) Los tres hilos están a $r = 2\ \text{m}$ del punto $P(0, 0, 2)$.

Hilo 1 (por el origen, corriente $+\vec i$). El unitario del hilo al punto es $+\vec k$:$$B_1 = \frac{\mu_0 I_1}{2\pi r} = \frac{4\pi\cdot 10^{-7}\cdot 2}{2\pi\cdot 2} = 2\cdot 10^{-7}\ \text{T},\qquad \vec u_I\times\vec u_r = \vec i\times\vec k = -\vec j$$$$\vec B_1 = -2\cdot 10^{-7}\,\vec j\ \text{T}$$Hilo 2 (por $(0, 0, 4)$, corriente $+\vec i$). Ahora el punto está debajo del hilo, $\vec u_r = -\vec k$:$$B_2 = \frac{4\pi\cdot 10^{-7}\cdot 2}{2\pi\cdot 2} = 2\cdot 10^{-7}\ \text{T},\qquad \vec i\times(-\vec k) = +\vec j\quad\Rightarrow\quad \vec B_2 = 2\cdot 10^{-7}\,\vec j\ \text{T}$$Los campos de los hilos 1 y 2 son iguales y opuestos en $P$, que está justo a mitad de camino entre ellos: se anulan.

Hilo 3 (eje $y$, corriente $+\vec j$). El unitario del hilo al punto es $+\vec k$:$$B_3 = \frac{4\pi\cdot 10^{-7}\cdot 3}{2\pi\cdot 2} = 3\cdot 10^{-7}\ \text{T},\qquad \vec j\times\vec k = \vec i\quad\Rightarrow\quad \vec B_3 = 3\cdot 10^{-7}\,\vec i\ \text{T}$$Por superposición:$$\vec B = \vec B_1 + \vec B_2 + \vec B_3 = -2\cdot 10^{-7}\,\vec j + 2\cdot 10^{-7}\,\vec j + 3\cdot 10^{-7}\,\vec i = 3\cdot 10^{-7}\,\vec i\ \text{T}$$b) Campo que crea el hilo 1 sobre los puntos del hilo 2, a $d = 4\ \text{m}$ (con $\vec u_r = +\vec k$, como en el apartado anterior):$$\vec B_1(\text{hilo 2}) = \frac{\mu_0 I_1}{2\pi d}\,(-\vec j) = \frac{4\pi\cdot 10^{-7}\cdot 2}{2\pi\cdot 4}\,(-\vec j) = -10^{-7}\,\vec j\ \text{T}$$Fuerza sobre un tramo de longitud $L$ del hilo 2, cuya corriente va según $+\vec i$:$$\vec F = I_2\,\vec L\times\vec B_1\quad\Rightarrow\quad \frac{\vec F}{L} = I_2\,\vec i\times\vec B_1 = 2\cdot(-10^{-7})\,(\vec i\times\vec j) = -2\cdot 10^{-7}\,\vec k\ \text{N/m}$$La fuerza sobre el hilo 2 apunta hacia $-\vec k$, es decir, hacia el hilo 1: es atractiva, como corresponde a dos corrientes paralelas del mismo sentido. Su módulo coincide con la fórmula $F/L = \mu_0 I_1 I_2/(2\pi d) = 2\cdot 10^{-7}\ \text{N/m}$.