FísicaMedioProblema · 2 pts

Ondas mecánicas: armónicas y estacionarias

Comunidad de Madrid · 2021 · Julio

Enunciado

Anacleto, el agente secreto, está grabando con un teléfono inteligente, a través de una pared, una conversación muy delicada del malvado Vázquez. La distancia entre ambos es de

5\ \text{m}

y, por efecto de la pared, al teléfono solo llega un

2\,\%

de la intensidad que llegaría si no hubiese pared. Se sabe que el nivel de intensidad sonora de una conversación a

1

metro es de

50\ \text{dB}

.

a) Calcule el nivel de intensidad sonora que llega al teléfono inteligente.

b) Si el teléfono es capaz de grabar conversaciones a

100

metros de distancia, ¿cuál es el nivel más bajo de intensidad sonora que es capaz de medir?

Dato: Intensidad umbral de audición,

I_0 = 10^{-12}\ \text{W}\,\text{m}^{-2}

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;\beta_{\text{tel}} = 19{,}0\ \text{dB}\;}

\boxed{\;\beta_{\text{mín}} = 10\ \text{dB}\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Los decibelios no se pueden «repartir» ni restar a ojo: hay que pasar a intensidades, que es la magnitud física. Con el nivel a 1 m obtenemos la intensidad a esa distancia. La voz se reparte por una esfera cada vez mayor, así que la intensidad baja con el cuadrado de la distancia (

I \propto 1/r^2

): con eso la llevamos a 5 m, le aplicamos el 2 % que deja pasar la pared y volvemos a decibelios.

En el apartado b) hacemos lo mismo a 100 m (sin pared): la intensidad que llega desde tan lejos es la más débil que el teléfono es capaz de registrar.

Desarrollo

a) Intensidad de la conversación a

r_1 = 1\ \text{m}

, a partir de su nivel:

\beta_1 = 10\log\frac{I_1}{I_0}\quad\Rightarrow\quad I_1 = I_0\cdot 10^{\beta_1/10} = 10^{-12}\cdot 10^{5} = 10^{-7}\ \text{W/m}^2

La potencia de la fuente se reparte sobre una esfera,

I = P/(4\pi r^2)

, así que la intensidad es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia. Sin pared, a

r_2 = 5\ \text{m}

llegaría:

I_2 = I_1\left(\frac{r_1}{r_2}\right)^2 = 10^{-7}\cdot\frac{1}{25} = 4\cdot 10^{-9}\ \text{W/m}^2

(Equivale a una potencia sonora

P = 4\pi r_1^2 I_1 = 4\pi\cdot 10^{-7}\ \text{W} \approx 1{,}26\cdot 10^{-6}\ \text{W}

.) La pared solo deja pasar el

2\,\%

I_{\text{tel}} = 0{,}02\cdot 4\cdot 10^{-9} = 8\cdot 10^{-11}\ \text{W/m}^2

Y el nivel de intensidad sonora en el teléfono:

\beta_{\text{tel}} = 10\log\frac{8\cdot 10^{-11}}{10^{-12}} = 10\log 80 = 19{,}0\ \text{dB}

b) A

r_3 = 100\ \text{m}

, sin pared, la intensidad de una conversación es:

I_3 = I_1\left(\frac{r_1}{r_3}\right)^2 = 10^{-7}\cdot\frac{1}{10^{4}} = 10^{-11}\ \text{W/m}^2

\beta_3 = 10\log\frac{10^{-11}}{10^{-12}} = 10\log 10 = 10\ \text{dB}

Si el teléfono graba la conversación a esa distancia, es capaz de registrar niveles de 10 dB. Como

19\ \text{dB} > 10\ \text{dB}

, Anacleto consigue grabar a Vázquez a pesar de la pared.

Consejo

Nunca operes directamente con decibelios: pasa a intensidades, aplica ahí las proporciones (el $1/r^2$ , el $2\,\%$ de la pared) y vuelve a decibelios al final.

Un truco para comprobar: multiplicar la intensidad por un factor suma $10\log(\text{factor})$ dB. Alejarse de 1 a 5 m resta $10\log 25 \approx 14$ dB y la pared resta $10\log 50 \approx 17$ dB: $50 - 14 - 17 = 19$ dB.