Campo y potencial eléctrico

Una sola carga fuente. Una carga $Q$ fija ejerce sobre otra carga $q$, a distancia $r$, la fuerza de Coulomb$$\vec F = \frac{K\,Q\,q}{r^2}\,\vec u_r$$con $K = 9\cdot 10^{9}\ \text{N}\,\text{m}^2/\text{C}^2$ en el vacío. Llevamos $q$ desde un punto $A$ (a distancia $r_A$ de $Q$) hasta un punto $B$ (a distancia $r_B$). Como la fuerza es radial, solo hace trabajo la componente radial del desplazamiento: $\vec F\cdot d\vec r = F\,dr$, donde $dr$ es lo que cambia la distancia a $Q$ (los tramos perpendiculares al radio no aportan nada):$$W_{A\to B} = \int_{r_A}^{r_B} \frac{K\,Q\,q}{r^2}\,dr = K\,Q\,q\left(\frac{1}{r_A} - \frac{1}{r_B}\right)$$El resultado solo depende de los puntos inicial y final: la fuerza es conservativa y admite una energía potencial, $E_p = K\,Q\,q/r$ (nula en el infinito). Por tanto$$W_{A\to B} = E_p(A) - E_p(B) = -\Delta E_p$$Con el potencial. El potencial eléctrico es la energía potencial por unidad de carga, $V = E_p/q = K\,Q/r$, que se mide en voltios ($1\ \text{V} = 1\ \text{J/C}$). Sustituyendo $E_p = q\,V$:$$W_{A\to B} = q\,(V_A - V_B)$$Varias cargas fuente. Si el campo lo crean $Q_1, Q_2, \dots, Q_n$, el potencial en cada punto es la suma escalar de los potenciales de cada carga (principio de superposición):$$V_A = \sum_i \frac{K\,Q_i}{r_{iA}} \qquad\qquad V_B = \sum_i \frac{K\,Q_i}{r_{iB}}$$donde $r_{iA}$ y $r_{iB}$ son las distancias de la carga $Q_i$ a los puntos $A$ y $B$. La fórmula del trabajo no cambia: $W_{A\to B} = q\,(V_A - V_B)$, con $q$ en culombios, $V$ en voltios y $W$ en julios.

Quién hace el trabajo. La expresión anterior es el trabajo que realiza el campo. Si un agente externo transporta la carga sin variar su energía cinética (lentamente), ejerce en cada punto una fuerza igual y opuesta a la eléctrica, y su trabajo es el «trabajo necesario» para el transporte:$$W_{\text{ext}} = -W_{A\to B} = q\,(V_B - V_A) = \Delta E_p$$Interpretación del signo.

• $W_{A\to B} > 0$: el campo traslada la carga espontáneamente y su energía potencial disminuye (por ejemplo, una carga positiva que va hacia potenciales menores).
• $W_{A\to B} < 0$: hay que aportar trabajo desde fuera ($W_{\text{ext}} > 0$) y la energía potencial aumenta.
• Si $A$ y $B$ están en la misma superficie equipotencial, $V_A = V_B$ y el trabajo es nulo, sea cual sea el camino.