Campo y potencial gravitatorio

Definición. Un campo de fuerzas es conservativo cuando el trabajo que realiza la fuerza del campo al llevar una partícula de un punto $A$ a otro $B$ depende solo de esos dos puntos y no del camino seguido:$$W_{A\to B} = \int_A^B \vec F\cdot d\vec r \quad \text{igual por cualquier trayectoria}$$Una forma equivalente: el trabajo a lo largo de cualquier trayectoria cerrada es nulo, porque al volver al punto de partida el trabajo de ida y el de vuelta se compensan:$$\oint \vec F\cdot d\vec r = 0$$Energía potencial. Como el trabajo solo depende de los extremos, a cada punto se le puede asignar una función de la posición, la energía potencial $E_p$ (en julios, J), de forma que el trabajo del campo es igual a menos su variación:$$W_{A\to B} = -\Delta E_p = E_p(A) - E_p(B)$$El origen de energía potencial es arbitrario (en los campos gravitatorio y eléctrico se toma $E_p = 0$ en el infinito); lo que tiene sentido físico son sus diferencias. La fuerza apunta hacia donde la energía potencial disminuye: en una dimensión, $F = -\dfrac{dE_p}{dr}$.

Ejemplo: el campo gravitatorio. La fuerza que una masa $M$ ejerce sobre otra $m$ es central y depende solo de la distancia $r$:$$\vec F = -\frac{G M m}{r^2}\,\vec u_r$$Al desplazar $m$ de $A$ a $B$ por cualquier camino, solo el desplazamiento radial $dr$ contribuye al trabajo ($\vec u_r\cdot d\vec r = dr$):$$W_{A\to B} = \int_{r_A}^{r_B} -\frac{G M m}{r^2}\,dr = G M m\left(\frac{1}{r_B} - \frac{1}{r_A}\right)$$El resultado solo depende de $r_A$ y $r_B$: el campo es conservativo, y comparando con $W = E_p(A) - E_p(B)$ se obtiene la energía potencial gravitatoria$$E_p = -\frac{G M m}{r}$$donde $G = 6{,}67\cdot 10^{-11}\ \text{N}\,\text{m}^2/\text{kg}^2$, $M$ y $m$ son las masas (kg) y $r$ la distancia entre sus centros (m).

Potencial. Dividiendo la energía potencial entre la magnitud que «siente» el campo se define el potencial, propio del campo y no de la partícula: $V = E_p/m$ en el gravitatorio ($V = -GM/r$, en J/kg) y $V = E_p/q$ en el eléctrico ($V = Kq/r$, en V). El trabajo queda $W_{A\to B} = m\,(V_A - V_B)$ o $q\,(V_A - V_B)$. Las superficies equipotenciales son perpendiculares a las líneas de campo y moverse sobre ellas no cuesta trabajo.

Conservación de la energía mecánica. Por el teorema de las fuerzas vivas, el trabajo total es la variación de energía cinética, $W = \Delta E_c$. Si solo actúan fuerzas conservativas, $W = -\Delta E_p$, así que$$\Delta E_c + \Delta E_p = 0 \quad\Rightarrow\quad E_m = E_c + E_p = \text{constante}$$Si además actúan fuerzas no conservativas, su trabajo es la variación de la energía mecánica: $W_{nc} = \Delta E_m$.

Ejemplos. Son conservativos todos los campos centrales cuya intensidad solo depende de la distancia: el gravitatorio, el electrostático y la fuerza elástica de un muelle ($E_p = \tfrac12 k x^2$). No son conservativas el rozamiento (siempre se opone al movimiento: su trabajo en un camino cerrado es negativo y depende de la longitud recorrida) ni, en general, las fuerzas de resistencia del aire o las que hace un motor. El campo magnético tampoco entra en esta clasificación: la fuerza magnética sobre una carga depende de su velocidad y es perpendicular a ella, así que no realiza trabajo, y el campo no admite un potencial escalar como el eléctrico (sus líneas son cerradas).