Ondas mecánicas: armónicas y estacionarias

En una onda armónica que avanza por el eje X, $y(x,t) = A\,\text{sen}(\omega t - kx + \varphi_0)$.

Número de onda, $k$. Es el número de longitudes de onda contenidas en una distancia de $2\pi$ metros; equivalentemente, la variación de la fase por unidad de longitud en un instante dado:$$k = \frac{2\pi}{\lambda}\qquad [k] = \text{rad/m}\ \ (\text{o}\ \text{m}^{-1})$$donde $\lambda$ es la longitud de onda, la distancia mínima entre dos puntos que vibran en fase. Así como $\omega$ indica lo rápido que cambia la fase con el tiempo, $k$ indica lo rápido que cambia con la posición.

Velocidad de propagación, $v$. Es la velocidad con que avanza la perturbación (un estado de vibración, por ejemplo una cresta) a través del medio. Como en un periodo $T$ la onda avanza una longitud de onda:$$v = \frac{\lambda}{T} = \lambda\,f\qquad [v] = \text{m/s}$$Depende de las propiedades del medio, no de la fuente. No hay que confundirla con la velocidad de vibración de cada partícula, $\partial y/\partial t$, que cambia de un punto a otro y con el tiempo.

Relación con la frecuencia angular. Con $\omega = 2\pi/T$ y $k = 2\pi/\lambda$:$$v = \frac{\lambda}{T} = \frac{2\pi/k}{2\pi/\omega} = \frac{\omega}{k}\quad\Longrightarrow\quad \omega = k\,v$$La frecuencia angular es el producto del número de onda por la velocidad de propagación.