Una onda armónica transversal se desplaza en el sentido positivo del eje X, tiene una amplitud de 8\ \text{cm}, una longitud de onda de 4\ \text{cm} y una frecuencia de 8\ \text{Hz}. Si para x = 0 y t = 0 la elongación vale y = 4\ \text{cm} y su velocidad es positiva, determine la ecuación de la onda y la distancia mínima que separa dos puntos de la onda cuya diferencia de fase es \pi/2\ \text{rad}.

FísicaMedio1 pts

Ondas mecánicas: armónicas y estacionarias

Castilla y León · 2021 · Junio

Enunciado

Una onda armónica transversal se desplaza en el sentido positivo del eje X, tiene una amplitud de

8\ \text{cm}

, una longitud de onda de

4\ \text{cm}

y una frecuencia de

8\ \text{Hz}

. Si para

x = 0

t = 0

la elongación vale

y = 4\ \text{cm}

y su velocidad es positiva, determine la ecuación de la onda y la distancia mínima que separa dos puntos de la onda cuya diferencia de fase es

\pi/2\ \text{rad}

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Resultado

\boxed{\;y(x,t) = 0{,}08\,\text{sen}\left(16\pi t - 50\pi x + \frac{\pi}{6}\right)\ \text{(SI)}\;}

\boxed{\;\Delta x_{\min} = \frac{\lambda}{4} = 1\ \text{cm}\;}

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Estrategia

Se escribe la onda como

y(x,t) = A\,\text{sen}(\omega t - kx + \varphi_0)

, con el signo menos porque viaja hacia

+x

\omega

k

salen de la frecuencia y la longitud de onda; la fase inicial, de las condiciones en

x = 0

t = 0

(la elongación da dos ángulos posibles y el signo de la velocidad elige uno). La distancia entre dos puntos desfasados

\Delta\varphi

\Delta x = \Delta\varphi/k

Desarrollo

Magnitudes en el SI (

A = 0{,}08\ \text{m}

\lambda = 0{,}04\ \text{m}

\omega = 2\pi f = 2\pi\cdot 8 = 16\pi\ \text{rad/s}\qquad k = \frac{2\pi}{\lambda} = \frac{2\pi}{0{,}04} = 50\pi\ \text{rad/m}

Ecuación general para una onda que avanza hacia

+x

y(x,t) = 0{,}08\,\text{sen}(16\pi t - 50\pi x + \varphi_0)\ \text{m}

Fase inicial. En

x = 0

t = 0

y(0,0) = 0{,}08\,\text{sen}\,\varphi_0 = 0{,}04\quad\Longrightarrow\quad \text{sen}\,\varphi_0 = \frac{1}{2}\quad\Longrightarrow\quad \varphi_0 = \frac{\pi}{6}\ \ \text{o}\ \ \varphi_0 = \frac{5\pi}{6}

La velocidad de vibración es la derivada respecto del tiempo:

v_y(0,0) = \frac{\partial y}{\partial t}\bigg|_{0,0} = 0{,}08\cdot 16\pi\cos\varphi_0

Para que sea positiva,

\cos\varphi_0 > 0

, lo que descarta

5\pi/6

. Por tanto

\varphi_0 = \pi/6\ \text{rad}

y la ecuación de la onda es:

y(x,t) = 0{,}08\,\text{sen}\left(16\pi t - 50\pi x + \frac{\pi}{6}\right)\ \text{m}

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Distancia mínima con desfase $\pi/2$ . En un mismo instante, la diferencia de fase entre dos puntos es

\Delta\varphi = k\,\Delta x

\Delta x = \frac{\Delta\varphi}{k} = \frac{\pi/2}{50\pi} = 0{,}01\ \text{m} = 1\ \text{cm}

Es un cuarto de longitud de onda,

\lambda/4

, como corresponde a un desfase de un cuarto de vuelta.

Consejo

El seno da dos ángulos para $\text{sen}\,\varphi_0 = 1/2$ : no te quedes con el de la calculadora sin más. Mira el signo de la velocidad, que lleva el coseno de la fase, para elegir.

Si escribes la onda con coseno, la fase cambia ( $-\pi/3$ ), pero la onda es la misma.