Campo y potencial gravitatorio

Definición. La velocidad de escape de un cuerpo desde la superficie de un planeta (o desde cualquier punto de su campo gravitatorio) es la velocidad mínima con la que hay que lanzarlo para que escape de la atracción gravitatoria del planeta, es decir, para que llegue al infinito (a una distancia donde la atracción es despreciable). No depende de la masa del cuerpo que se lanza ni de la dirección del lanzamiento, siempre que no choque con el planeta.

Deducción. Sea un planeta de masa $M$ y radio $R$, y un cuerpo de masa $m$ lanzado desde su superficie con velocidad $v_e$. Despreciamos el rozamiento con la atmósfera y la rotación del planeta. Como la fuerza gravitatoria es conservativa, la energía mecánica se conserva:$$E_c + E_p = \text{constante}$$Tomamos el origen de energía potencial en el infinito, de modo que $E_p = -GMm/r$:

• En la superficie ($r = R$): $\;E_m = \dfrac{1}{2}\,m\,v_e^2 - \dfrac{G\,M\,m}{R}$
• En el infinito ($r \to \infty$): $E_p = 0$, y con la velocidad mínima el cuerpo llega con $v = 0$, así que $E_m = 0$.

Igualando:$$\frac{1}{2}\,m\,v_e^2 - \frac{G\,M\,m}{R} = 0\quad\Longrightarrow\quad v_e = \sqrt{\frac{2\,G\,M}{R}}$$donde $G$ es la constante de gravitación universal ($\text{N}\,\text{m}^2\,\text{kg}^{-2}$), $M$ la masa del planeta (kg) y $R$ su radio (m); $v_e$ sale en m/s.

Como en la superficie $g_0 = GM/R^2$, también se puede escribir $v_e = \sqrt{2\,g_0\,R}$. Si el cuerpo parte de una distancia $r$ al centro (por ejemplo, desde una órbita), basta cambiar $R$ por $r$.

La condición de escape es, por tanto, que la energía mecánica sea nula o positiva: con $E_m < 0$ el cuerpo queda ligado al planeta y vuelve a caer o queda en órbita.

Ejemplo: para la Tierra, $v_e = \sqrt{2\cdot 6{,}67\cdot 10^{-11}\cdot 5{,}98\cdot 10^{24}/6{,}37\cdot 10^{6}} = 1{,}12\cdot 10^{4}\ \text{m/s}$, unos $11{,}2\ \text{km/s}$.