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Ondas mecánicas: armónicas y estacionarias

Castilla y León · 2021 · Julio
Enunciado
Una radio emite sonido con una potencia de 0,7 W0{,}7\ \text{W}. Suponiendo que la radio es una fuente puntual y que las ondas sonoras son esféricas, ¿a qué distancia de la radio el nivel de intensidad sonora es 60 dB60\ \text{dB}?

Nota: Intensidad física umbral I0=10−12 W m−2I_0 = 10^{-12}\ \text{W}\,\text{m}^{-2}.
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Resultado
  I=1,0⋅10−6 W m−2r=236 m  \boxed{\;I = 1{,}0\cdot 10^{-6}\ \text{W}\,\text{m}^{-2}\qquad r = 236\ \text{m}\;}
Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo
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Estrategia

Primero se pasa el nivel de intensidad sonora (en decibelios) a intensidad física con la definición β=10log⁡(I/I0)\beta = 10\log(I/I_0). Después, como la onda es esférica, la potencia se reparte sobre una esfera: I=P/(4πr2)I = P/(4\pi r^2), de donde se despeja rr.
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Desarrollo

Intensidad correspondiente a 60 dB60\ \text{dB}:β=10 log⁡II0⟹I=I0⋅10β/10=10−12⋅106=1,0⋅10−6 W m−2\beta = 10\,\log\frac{I}{I_0}\quad\Longrightarrow\quad I = I_0\cdot 10^{\beta/10} = 10^{-12}\cdot 10^{6} = 1{,}0\cdot 10^{-6}\ \text{W}\,\text{m}^{-2}La potencia emitida atraviesa una esfera de radio rr centrada en la fuente:I=P4πr2⟹r=P4πI=0,74π⋅1,0⋅10−6=236 mI = \frac{P}{4\pi r^2}\quad\Longrightarrow\quad r = \sqrt{\frac{P}{4\pi I}} = \sqrt{\frac{0{,}7}{4\pi\cdot 1{,}0\cdot 10^{-6}}} = 236\ \text{m}Suponemos que el medio no absorbe energía: la intensidad baja solo porque la potencia se reparte sobre esferas cada vez mayores.
3

Consejo

El decibelio no es una intensidad: pasa siempre de β\beta a II antes de usar I=P/4πr2I = P/4\pi r^2.

Recuerda que cada 10 dB10\ \text{dB} más es multiplicar la intensidad por 10; así 60 dB60\ \text{dB} son 10610^6 veces el umbral, de un vistazo.
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