Satélites, órbitas y leyes de Kepler

En una órbita circular, la fuerza gravitatoria hace de fuerza centrípeta, con $v = 2\pi r/T$:$$\frac{G\,M_T\,m}{r^2} = m\,\frac{4\pi^2}{T^2}\,r\quad\Longrightarrow\quad r = \sqrt[3]{\frac{G\,M_T\,T^2}{4\pi^2}}$$Órbita inicial, $T_1 = 12\ \text{h} = 43\,200\ \text{s}$:$$r_1 = \sqrt[3]{\frac{6{,}67\cdot 10^{-11}\cdot 5{,}98\cdot 10^{24}\cdot 43\,200^2}{4\pi^2}} = 2{,}66\cdot 10^{7}\ \text{m}$$Órbita geoestacionaria, $T_2 = 24\ \text{h} = 86\,400\ \text{s}$:$$r_2 = \sqrt[3]{\frac{6{,}67\cdot 10^{-11}\cdot 5{,}98\cdot 10^{24}\cdot 86\,400^2}{4\pi^2}} = 4{,}23\cdot 10^{7}\ \text{m}$$(Por Kepler, $r_2 = 2^{2/3}\,r_1$: al duplicar el periodo, el radio se multiplica por $1{,}59$.)

La energía mecánica de un satélite en órbita circular es la mitad de su energía potencial, $E = E_c + E_p = \tfrac{1}{2}\,\tfrac{GM_Tm}{r} - \tfrac{GM_Tm}{r}$:$$E = -\frac{G\,M_T\,m}{2\,r}$$$$E_1 = -\frac{6{,}67\cdot 10^{-11}\cdot 5{,}98\cdot 10^{24}\cdot 100}{2\cdot 2{,}662\cdot 10^{7}} = -7{,}49\cdot 10^{8}\ \text{J}$$$$E_2 = -\frac{6{,}67\cdot 10^{-11}\cdot 5{,}98\cdot 10^{24}\cdot 100}{2\cdot 4{,}225\cdot 10^{7}} = -4{,}72\cdot 10^{8}\ \text{J}$$La energía que hay que suministrar es el aumento de energía mecánica:$$\Delta E = E_2 - E_1 = -4{,}720\cdot 10^{8} - \left(-7{,}493\cdot 10^{8}\right) = 2{,}77\cdot 10^{8}\ \text{J}$$Es positiva: la órbita más alta tiene más energía (menos negativa), aunque el satélite vaya más despacio en ella ($3{,}87\ \text{km/s}$ en la inicial y $3{,}07\ \text{km/s}$ en la geoestacionaria).