FísicaFácil1 pts

Dualidad onda-corpúsculo e incertidumbre

Castilla y León · 2021 · Julio
Enunciado
Calcule la longitud de onda de de Broglie para un electrón cuya energía cinética es 300 eV300\ \text{eV}.

Datos (de la tabla de constantes del examen): me=9,11⋅10−31 kgm_e = 9{,}11\cdot 10^{-31}\ \text{kg}; h=6,63⋅10−34 J sh = 6{,}63\cdot 10^{-34}\ \text{J}\,\text{s}; 1 eV=1,60⋅10−19 J1\ \text{eV} = 1{,}60\cdot 10^{-19}\ \text{J}.
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Resultado
  p=9,35⋅10−24 kg m/sλ=7,09⋅10−11 m  \boxed{\;p = 9{,}35\cdot 10^{-24}\ \text{kg}\,\text{m/s}\qquad \lambda = 7{,}09\cdot 10^{-11}\ \text{m}\;}
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Estrategia

La hipótesis de De Broglie asocia a toda partícula con momento lineal pp una onda de longitud λ=h/p\lambda = h/p. El momento se obtiene de la energía cinética: con Ec=p2/(2m)E_c = p^2/(2m), resulta p=2mEcp = \sqrt{2mE_c}. Con 300 eV300\ \text{eV} el electrón va mucho más despacio que la luz y la expresión clásica es válida.
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Desarrollo

Energía cinética en julios:Ec=300 eV⋅1,60⋅10−19 J/eV=4,80⋅10−17 JE_c = 300\ \text{eV}\cdot 1{,}60\cdot 10^{-19}\ \text{J/eV} = 4{,}80\cdot 10^{-17}\ \text{J}Momento lineal del electrón:Ec=p22 me⟹p=2 me Ec=2⋅9,11⋅10−31⋅4,80⋅10−17=9,35⋅10−24 kg m/sE_c = \frac{p^2}{2\,m_e}\quad\Longrightarrow\quad p = \sqrt{2\,m_e\,E_c} = \sqrt{2\cdot 9{,}11\cdot 10^{-31}\cdot 4{,}80\cdot 10^{-17}} = 9{,}35\cdot 10^{-24}\ \text{kg}\,\text{m/s}(Su velocidad es v=p/me=1,03⋅107 m/sv = p/m_e = 1{,}03\cdot 10^{7}\ \text{m/s}, un 3 %3\ \% de la de la luz: no hace falta la relatividad.)

Longitud de onda de De Broglie:λ=hp=6,63⋅10−349,352⋅10−24=7,09⋅10−11 m\lambda = \frac{h}{p} = \frac{6{,}63\cdot 10^{-34}}{9{,}352\cdot 10^{-24}} = 7{,}09\cdot 10^{-11}\ \text{m}Es del orden de las distancias entre átomos en un cristal (10−10 m10^{-10}\ \text{m}), por eso los electrones de esta energía se difractan en los cristales: así se comprobó la hipótesis de De Broglie.
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Consejo

Pasa los electronvoltios a julios antes de sustituir: si metes 300300 directamente en 2mEc\sqrt{2mE_c}, el resultado sale mal por un factor enorme.

No confundas la λ\lambda de un electrón con la de un fotón de la misma energía: para el fotón sería λ=hc/E\lambda = hc/E, con un valor muy distinto.
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