FísicaMedioProblema · 3 pts

Campo y potencial gravitatorio

Castilla-La Mancha · 2021 · Junio
Enunciado
Lanzamos desde el polo una nave con una velocidad de 2,5 km/s2{,}5\,\text{km/s}.

a) Determina la masa de la Tierra sabiendo que su radio es 6370 km6370\,\text{km} y que la aceleración de la gravedad en su superficie es 9,8 m/s29{,}8\,\text{m/s}^2.

b) Determina hasta qué altura máxima sube antes de caer de nuevo sobre la Tierra.

c) Calcula el valor de la aceleración de la gravedad en ese punto de máximo alejamiento a la Tierra.

Datos: G=6,67⋅10−11 N m2/kg2G = 6{,}67\cdot 10^{-11}\,\text{N m}^2/\text{kg}^2
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Resultado
  M=5,96⋅1024 kgh=336 kmg=8,84 m/s2  \boxed{\;M = 5{,}96\cdot 10^{24}\ \text{kg}\qquad h = 336\ \text{km}\qquad g = 8{,}84\ \text{m/s}^2\;}
Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo
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Estrategia

En la superficie, g0=GM/R2g_0 = GM/R^2. Desde el polo no hay que tener en cuenta la rotación terrestre. La nave sube verticalmente y se detiene; como la altura no es despreciable frente al radio, se usa la conservación de la energía con Ep=−GMm/rE_p = -GMm/r (no mghmgh).
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Desarrollo

a)M=g0R2G=9,8⋅(6,37⋅106)26,67⋅10−11=5,96⋅1024 kgM = \frac{g_0 R^2}{G} = \frac{9{,}8\cdot(6{,}37\cdot 10^6)^2}{6{,}67\cdot 10^{-11}} = 5{,}96\cdot 10^{24}\ \text{kg}b) Con GM=g0R2=3,98⋅1014 N m2/kgGM = g_0R^2 = 3{,}98\cdot 10^{14}\,\text{N m}^2/\text{kg}:12mv02−GMmR=−GMmr⟹1r=1R−v022GM=16,37⋅106−(2,5⋅103)22⋅3,98⋅1014\frac12 m v_0^2 - \frac{GMm}{R} = -\frac{GMm}{r} \quad\Longrightarrow\quad \frac{1}{r} = \frac{1}{R} - \frac{v_0^2}{2GM} = \frac{1}{6{,}37\cdot 10^6} - \frac{(2{,}5\cdot 10^3)^2}{2\cdot 3{,}98\cdot 10^{14}}1r=1,570⋅10−7−7,86⋅10−9=1,491⋅10−7 m−1⟹r=6,71⋅106 m\frac1r = 1{,}570\cdot 10^{-7} - 7{,}86\cdot 10^{-9} = 1{,}491\cdot 10^{-7}\ \text{m}^{-1} \quad\Longrightarrow\quad r = 6{,}71\cdot 10^{6}\ \text{m}h=r−R=6,71⋅106−6,37⋅106=3,36⋅105 m≈336 kmh = r - R = 6{,}71\cdot 10^{6} - 6{,}37\cdot 10^{6} = 3{,}36\cdot 10^{5}\ \text{m} \approx 336\ \text{km}(Con mghmgh saldrían 319 km319\,\text{km}: el error de suponer gg constante ya se nota.)

c)g=GMr2=3,98⋅1014(6,71⋅106)2=8,84 m/s2g = \frac{GM}{r^2} = \frac{3{,}98\cdot 10^{14}}{(6{,}71\cdot 10^6)^2} = 8{,}84\ \text{m/s}^2
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Consejo

Ep=mghE_p = mgh solo vale cerca de la superficie. Si la altura que sale es de cientos de kilómetros, usa Ep=−GMm/rE_p = -GMm/r desde el principio.
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