FísicaDifícilProblema · 3 pts

Ondas mecánicas: armónicas y estacionarias

Castilla-La Mancha · 2021 · Junio

Enunciado

Una fuente situada en el origen de coordenadas (

x_1 = 0

) genera ondas armónicas que se propagan con una velocidad de

10\,\text{m/s}

en la dirección del eje

X

positivo. Las ondas tienen amplitud

20\,\text{cm}

y frecuencia

\nu = 5\,\text{Hz}

. El desfase inicial es nulo.

a) Determina la frecuencia angular y el número de ondas de la fuente.

b) Escribe la función de onda y el valor que tiene en el punto

x = 10\,\text{m}

cuando

t = 0{,}975\,\text{s}

.

c) ¿En qué posición (

x_2

) podríamos colocar una segunda fuente idéntica y en fase con la primera para que la interferencia de ambas en este punto

x = 10\,\text{m}

fuese completamente destructiva? ¿Y totalmente constructiva? Justifica la respuesta.

Ayuda:

\text{sen}(a) + \text{sen}(b) = 2\,\text{sen}\left(\dfrac{a+b}{2}\right)\cos\left(\dfrac{a-b}{2}\right)

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;\omega = 10\pi\ \text{rad/s}\qquad k = \pi\ \text{rad/m}\qquad y = 0{,}2\,\text{sen}(10\pi t - \pi x)\ \text{m}\qquad y(10;\,0{,}975) = -0{,}141\ \text{m}\;}

\boxed{\;\text{Destructiva: } x_2 = 1, 3, 5, 7, 9\ \text{m}\qquad \text{Constructiva: } x_2 = 2, 4, 6, 8\ \text{m}\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Con

v

\nu

se obtienen

\omega = 2\pi\nu

\lambda = v/\nu

k = 2\pi/\lambda

. La onda que avanza hacia

+X

con fase inicial nula es

y = A\,\text{sen}(\omega t - kx)

. Para la interferencia, se suman las dos ondas que llegan a

x = 10\,\text{m}

con la fórmula de la ayuda: la amplitud resultante depende del coseno de la mitad de la diferencia de fase, que solo depende de

x_2

Desarrollo

\omega = 2\pi\nu = 10\pi\ \text{rad/s}\qquad \lambda = \frac{v}{\nu} = \frac{10}{5} = 2\ \text{m}\qquad k = \frac{2\pi}{\lambda} = \pi\ \text{rad/m}

y(x,t) = 0{,}2\,\text{sen}(10\pi t - \pi x)\ \text{(SI)}

y(10;\ 0{,}975) = 0{,}2\,\text{sen}(9{,}75\pi - 10\pi) = 0{,}2\,\text{sen}\left(-\frac{\pi}{4}\right) = -0{,}141\ \text{m}

(Ojo: si la fuente empezó a emitir en

t = 0

, en

0{,}975\,\text{s}

la onda solo ha recorrido

9{,}75\,\text{m}

y aún no ha llegado a

x = 10\,\text{m}

, que seguiría en reposo. El valor

-0{,}141\,\text{m}

es el que da la función de onda, que describe una onda que ya ocupa todo el eje.)

c) Una segunda fuente en

x_2

(entre

0

10\,\text{m}

) emite la misma onda, que llega a

x = 10\,\text{m}

tras recorrer

10 - x_2

y_1 = A\,\text{sen}(\omega t - 10k)\qquad y_2 = A\,\text{sen}\left(\omega t - k(10 - x_2)\right)

Con la ayuda:

y_1 + y_2 = 2A\cos\left(\frac{k x_2}{2}\right)\text{sen}\left(\omega t - 10k + \frac{k x_2}{2}\right)

La amplitud resultante es

2A\left|\cos(\pi x_2/2)\right|

Destructiva (amplitud nula): $\cos(\pi x_2/2) = 0 \Rightarrow x_2 = 1, 3, 5, 7, 9\ \text{m}$ . La diferencia de caminos, $x_2$ , es un número impar de semilongitudes de onda.
Constructiva (amplitud $2A = 40\,\text{cm}$ ): $|\cos(\pi x_2/2)| = 1 \Rightarrow x_2 = 2, 4, 6, 8\ \text{m}$ . La diferencia de caminos es un número entero de longitudes de onda.

Consejo

En interferencias, lo que importa es la diferencia de caminos comparada con $\lambda$ : múltiplo de $\lambda$ , constructiva; múltiplo impar de $\lambda/2$ , destructiva.