FísicaFácilProblema · 3 pts

Campo y potencial gravitatorio

También trata: Satélites, órbitas y leyes de Kepler

Castilla-La Mancha · 2021 · Julio

Enunciado

Teniendo en cuenta que la masa del Sol es

2\cdot 10^{30}\,\text{kg}

y su radio

7\cdot 10^8\,\text{m}

, contesta a lo siguiente:

a) Explica qué se conoce como velocidad de escape y deduce su expresión para el Sol.

b) Cuando el Sol colapse como enana blanca retendrá un

60\,\%

de su masa (el resto se lanza al espacio en una explosión previa) y reducirá su radio al

1\,\%

de su valor original. Determina cómo variará su velocidad de escape.

c) Calcula el valor original de la gravedad en la superficie del Sol y el valor final tras el colapso.

Datos:

G = 6{,}67\cdot 10^{-11}\,\text{N m}^2/\text{kg}^2

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;v_e = 6{,}17\cdot 10^{5}\ \text{m/s}\ \to\ v_e' = 4{,}78\cdot 10^{6}\ \text{m/s}\ (\times 7{,}75)\qquad g_0 = 272\ \text{m/s}^2\ \to\ g_0' = 1{,}63\cdot 10^{6}\ \text{m/s}^2\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

La velocidad de escape es la mínima para que un cuerpo llegue al infinito con energía mecánica nula:

v_e = \sqrt{2GM/R}

. La gravedad superficial es

g_0 = GM/R^2

. Para comparar antes y después, conviene hacer cocientes.

Desarrollo

a) La velocidad de escape es la velocidad mínima que hay que comunicar a un cuerpo en la superficie de un astro para que se aleje indefinidamente sin volver, es decir, para que llegue al infinito (donde

E_p = 0

) con velocidad nula como mínimo:

\frac12 m v_e^2 - \frac{GMm}{R} = 0 \quad\Longrightarrow\quad v_e = \sqrt{\frac{2GM}{R}} = \sqrt{\frac{2\cdot 6{,}67\cdot 10^{-11}\cdot 2\cdot 10^{30}}{7\cdot 10^8}} = 6{,}17\cdot 10^{5}\ \text{m/s}

No depende de la masa del cuerpo que escapa.

b) Con

M' = 0{,}6\,M

R' = 0{,}01\,R

\frac{v_e'}{v_e} = \sqrt{\frac{M'}{M}\cdot\frac{R}{R'}} = \sqrt{\frac{0{,}6}{0{,}01}} = \sqrt{60} = 7{,}75

v_e' = 7{,}75\cdot 6{,}17\cdot 10^{5} = 4{,}78\cdot 10^{6}\ \text{m/s}

g_0 = \frac{GM}{R^2} = \frac{6{,}67\cdot 10^{-11}\cdot 2\cdot 10^{30}}{(7\cdot 10^8)^2} = 272\ \text{m/s}^2

\frac{g_0'}{g_0} = \frac{M'}{M}\left(\frac{R}{R'}\right)^2 = 0{,}6\cdot 100^2 = 6000 \quad\Longrightarrow\quad g_0' = 6000\cdot 272 = 1{,}63\cdot 10^{6}\ \text{m/s}^2

Consejo

Al hacer cocientes, fíjate en el exponente del radio: $v_e \propto \sqrt{M/R}$ , pero $g_0 \propto M/R^2$ . Por eso la gravedad crece mucho más que la velocidad de escape.