FísicaMedioProblema · 3 pts

Ondas mecánicas: armónicas y estacionarias

Castilla-La Mancha · 2021 · Julio
Enunciado
Un altavoz emite el siguiente sonido Ψ(x,t)=0,1 sen(8,3πx−2960πt+π)\Psi(x,t) = 0{,}1\,\text{sen}(8{,}3\pi x - 2960\pi t + \pi) en unidades del sistema internacional.

a) Determina las siguientes características de esa onda: periodo, longitud de onda, desfase y velocidad de propagación.

b) ¿Qué diferencia de fase habrá entre dos puntos que están separados 0,12 m0{,}12\,\text{m}?

c) ¿Con qué rapidez cambia la presión a 0,25 m0{,}25\,\text{m} de la fuente en t=0,5 mst = 0{,}5\,\text{ms}? ¿Cuál es la máxima velocidad con que cambia la presión en ese punto?
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Resultado
  T=6,76⋅10−4 sλ=0,241 mφ0=π radv=357 m/s  \boxed{\;T = 6{,}76\cdot 10^{-4}\ \text{s}\qquad \lambda = 0{,}241\ \text{m}\qquad \varphi_0 = \pi\ \text{rad}\qquad v = 357\ \text{m/s}\;}  Δφ≈π rad∂Ψ∂t=−273 Pa/s(∂Ψ∂t)maˊx=930 Pa/s  \boxed{\;\Delta\varphi \approx \pi\ \text{rad}\qquad \frac{\partial\Psi}{\partial t} = -273\ \text{Pa/s}\qquad \left(\frac{\partial\Psi}{\partial t}\right)_{\text{máx}} = 930\ \text{Pa/s}\;}
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Estrategia

Comparando con Ψ=Ψ0 sen(kx−ωt+φ0)\Psi = \Psi_0\,\text{sen}(kx - \omega t + \varphi_0): Ψ0=0,1 Pa\Psi_0 = 0{,}1\,\text{Pa}, k=8,3π rad/mk = 8{,}3\pi\,\text{rad/m}, ω=2960π rad/s\omega = 2960\pi\,\text{rad/s} y φ0=π\varphi_0 = \pi. La rapidez con que cambia la presión en un punto es la derivada respecto del tiempo, ∂Ψ/∂t\partial\Psi/\partial t; su máximo es Ψ0 ω\Psi_0\,\omega.
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Desarrollo

a)T=2πω=2π2960π=6,76⋅10−4 s(f=1480 Hz)T = \frac{2\pi}{\omega} = \frac{2\pi}{2960\pi} = 6{,}76\cdot 10^{-4}\ \text{s}\qquad (f = 1480\ \text{Hz})λ=2πk=28,3=0,241 mφ0=π rad\lambda = \frac{2\pi}{k} = \frac{2}{8{,}3} = 0{,}241\ \text{m}\qquad \varphi_0 = \pi\ \text{rad}v=ωk=2960π8,3π=357 m/s(hacia +X)v = \frac{\omega}{k} = \frac{2960\pi}{8{,}3\pi} = 357\ \text{m/s}\quad (\text{hacia } +X)b)Δφ=k Δx=8,3π⋅0,12=0,996π rad≈π rad (179∘)\Delta\varphi = k\,\Delta x = 8{,}3\pi\cdot 0{,}12 = 0{,}996\pi\ \text{rad} \approx \pi\ \text{rad}\ (179^\circ)Los dos puntos están separados casi exactamente media longitud de onda: vibran prácticamente en oposición de fase.

c)∂Ψ∂t=−0,1⋅2960π cos⁡(8,3πx−2960πt+π)\frac{\partial\Psi}{\partial t} = -0{,}1\cdot 2960\pi\,\cos(8{,}3\pi x - 2960\pi t + \pi)En x=0,25 mx = 0{,}25\,\text{m} y t=5⋅10−4 st = 5\cdot 10^{-4}\,\text{s}, la fase vale 2,075π−1,48π+π=1,595π rad2{,}075\pi - 1{,}48\pi + \pi = 1{,}595\pi\ \text{rad}:∂Ψ∂t=−296πcos⁡(1,595π)=−296π⋅0,294=−273 Pa/s\frac{\partial\Psi}{\partial t} = -296\pi\cos(1{,}595\pi) = -296\pi\cdot 0{,}294 = -273\ \text{Pa/s}Máxima rapidez de cambio en ese punto:(∂Ψ∂t)maˊx=Ψ0 ω=0,1⋅2960π=930 Pa/s\left(\frac{\partial\Psi}{\partial t}\right)_{\text{máx}} = \Psi_0\,\omega = 0{,}1\cdot 2960\pi = 930\ \text{Pa/s}
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Consejo

«Con qué rapidez cambia» es una derivada. Deriva respecto de tt con xx fijo, y evalúa el coseno con la calculadora en radianes.
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