Campo y potencial eléctrico

Solución oficial

Corrección oficial de la PAU de Cataluña (Generalitat de Catalunya), traducida del catalán. Las puntuaciones de cada paso son las de la pauta de corrección.

a)

0,35 p. Por simetría, será el punto central del triángulo (baricentro). Es equidistante de las tres cargas; por tanto, el módulo de los campos creados será igual.$$E_1 = E_2 = E_3 = k\,\frac{q}{r^2}$$La componente $x$ de los campos $\vec E_2$ y $\vec E_3$ se anulan mutuamente.

En este caso, el ángulo que forman los campos respecto a la vertical es de $60^\circ$, y la componente $y$ de la suma de los campos $\vec E_2$ y $\vec E_3$ es:$$E_{23,y} = -E_2\cos(60^\circ) - E_3\cos(60^\circ) = -2k\,\frac{q}{r^2}\,\frac{1}{2} = -k\,\frac{q}{r^2}$$Y, finalmente, el campo total es:$$E_{T,y} = E_1 - E_{23,y} = k\,\frac{q}{r^2} - k\,\frac{q}{r^2} = 0$$La justificación también se puede basar en argumentos exclusivamente geométricos y de simetría. Por ejemplo, dado que las tres cargas son iguales y el triángulo es equilátero, si suponemos que el campo eléctrico en el centro no es nulo, solo hay que hacer una rotación de $120^\circ$ respecto al punto central (una rotación de $120^\circ$ da una distribución de carga idéntica) y veremos que el mismo problema tiene dos soluciones diferentes, cosa que es imposible; por tanto, el campo en este punto debe ser nulo.

0,4 p. Calculamos el campo en el vértice superior. Por simetría sabemos que el resultado no depende del vértice elegido.

La dirección del campo eléctrico creado por una carga corresponde a la línea que une la carga con el vértice en el que calculamos el campo, es decir, el campo está dirigido según el lado del triángulo que une los dos vértices. Como las dos cargas de la base son negativas, el sentido apuntará hacia la carga que crea el campo, como se indica en el dibujo.

0,1 p. El campo total será la suma vectorial de los campos creados por las dos cargas:$$\vec E_T = \vec E_1 + \vec E_2$$0,2 p. Como las dos cargas son iguales y están a la misma distancia, el módulo del campo que crean es el mismo: $E_1 = E_2 = k\,\dfrac{q}{d^2}$

0,2 p. Los campos $\vec E_1$ y $\vec E_2$ forman el mismo ángulo respecto a la vertical, que es la mitad del ángulo que forman los dos lados del triángulo. Como es un triángulo equilátero, los ángulos del triángulo son de $60^\circ$ y el ángulo que forman los campos respecto a la vertical será de $30^\circ$.

Entonces, las componentes $x$ se anulan porque son de igual magnitud pero tienen sentidos opuestos, mientras que las componentes $y$ se suman porque tienen el mismo sentido (negativo, porque apuntan hacia abajo):$$E_{T,x} = E_2\sin(30^\circ) - E_1\sin(30^\circ) = 0$$$$E_{T,y} = -E_2\cos(30^\circ) - E_2\cos(30^\circ) = -2k\,\frac{q}{d^2}\,\frac{\sqrt 3}{2} = -\sqrt 3\,k\,\frac{q}{d^2}$$Así pues, el campo es: $\vec E_T = -\sqrt 3\,k\,\dfrac{q}{d^2}\,\vec\jmath$

Observe que la notación vectorial dependerá del vértice elegido. No hace falta que el estudiante dé el resultado en notación vectorial; el sentido y la dirección también se pueden indicar gráficamente, como, por ejemplo, en el esquema de fuerzas adjunto. También se debe considerar correcto que el resultado se dé en función del $\cos(30^\circ)$; no hace falta sustituir su valor.

b)

0,25 p. Definimos la energía de formación o energía potencial electrostática de un sistema como el trabajo necesario para constituirlo.

0,25 p. Primero hace falta la energía para traer la primera carga desde el infinito hasta su ubicación final. Como no hay más cargas, el campo eléctrico externo y la fuerza a la que está sometida la carga son cero y, por tanto, el trabajo será nulo.$$W_1 = 0$$0,25 p. Para traer la segunda carga, habrá que superar la fuerza que aplica la primera sobre la segunda, de manera que el trabajo que habrá que hacer será igual a la variación de la energía potencial:$$W_2 = k\,\frac{q_1\cdot q_2}{d} = k\,\frac{q^2}{d}$$0,25 p. Para traer la tercera carga, habrá que superar la fuerza que aplican las dos primeras cargas sobre la tercera, de manera que el trabajo que habrá que hacer será igual a la variación de la energía potencial:$$W_3 = k\,\frac{q_1\cdot q_3}{d} + k\,\frac{q_2\cdot q_3}{d} = 2k\,\frac{q^2}{d}$$0,25 p. Finalmente, si sumamos todos los términos, tenemos: $U = 3k\,\dfrac{q^2}{d}$

También se considerará válido que el estudiante dé directamente la expresión:$$U = k\,\frac{q_1\cdot q_2}{d} + k\,\frac{q_1\cdot q_3}{d} + k\,\frac{q_2\cdot q_3}{d}$$