Satélites, órbitas y leyes de Kepler

Solución oficial

Corrección oficial de la PAU de Cataluña (Generalitat de Catalunya), traducida del catalán. Las puntuaciones de cada paso son las de la pauta de corrección.

a)

0,2 p. La tercera ley de Kepler establece que el cuadrado del periodo orbital es directamente proporcional al cubo del semieje mayor de la órbita. Así pues, en el caso de órbitas circulares se debe cumplir que el cuadrado del periodo orbital es directamente proporcional al cubo del radio de la órbita.

0,2 p. Si el planeta describe un movimiento circular uniforme alrededor del Sol, su aceleración centrípeta es: $a_N = \dfrac{v^2}{r}$ o $a_N = \omega^2 r$

Y la velocidad se puede expresar en función del periodo como: $v = \dfrac{2\pi r}{T}$

Entonces, la aceleración centrípeta se puede expresar como: $a_N = \left(\dfrac{2\pi}{T}\right)^2 r$ (0,1 p.)

0,2 p. Y, según la ley de gravitación universal, el módulo de la fuerza se expresa como:$$F = G\,\frac{m M_{Sol}}{r^2}$$0,1 p. La segunda ley de Newton establece que: $\vec F = m\vec a$, donde $m$ es la masa del planeta.

Por tanto, obtenemos que: $a = G\,\dfrac{M_{Sol}}{r^2}$

0,2 p. Y, como la fuerza de la gravedad es perpendicular a la trayectoria, la aceleración es igual a la aceleración centrípeta:$$G\,\frac{M_{Sol}}{r^2} = \left(\frac{2\pi}{T}\right)^2 r$$Y, finalmente, si despejamos $T^2$ obtenemos la tercera ley de Kepler para órbitas circulares:$$T^2 = \frac{(2\pi)^2}{G M_{Sol}}\,r^3\quad\text{o}\quad \frac{r^3}{T^2} = \frac{G M_{Sol}}{(2\pi)^2}$$(0,25 p.)

b)

1,0 p. El cálculo se puede hacer a partir de la expresión anterior y utilizando los datos de cualquier planeta de la tabla:$$M_{Sol} = \frac{(2\pi)^2}{G}\,\frac{r^3}{T^2}$$Por ejemplo, a partir de los datos de la órbita de la Tierra obtenemos:$$M_{Sol} = \frac{(2\pi)^2}{G}\,\frac{r^3}{T^2} = \frac{(2\pi)^2}{6{,}67\times 10^{-11}}\,\frac{(149{,}6\times 10^{9})^3}{(365\times 24\times 3600)^2} = 1{,}99\times 10^{30}\ \text{kg}$$(0,25 p.)

También es posible que el estudiante haga el cálculo para más de un planeta y dé el valor medio; este procedimiento también se debe considerar correcto.