FísicaFácil2,5 pts

Inducción electromagnética

Cataluña · 2021 · Septiembre
Enunciado
Un alternador consiste en una bobina de 100100 espiras rectangulares. Las dimensiones de los lados largo y corto de la bobina son 2,0 cm2{,}0\ \text{cm} y 1,6 cm1{,}6\ \text{cm}, respectivamente. La bobina gira con una frecuencia de 6060 vueltas por segundo dentro de un campo magnético uniforme de magnitud B=0,1 TB = 0{,}1\ \text{T}. La orientación relativa entre el campo magnético y la bobina viene dada por el ángulo θ\theta que forman el campo magnético y el vector S⃗\vec S perpendicular al plano que contiene la bobina.
Bobina rectangular que gira con velocidad angular ω dentro de un campo B uniforme; θ es el ángulo entre B y el vector superficie S
Bobina rectangular que gira con velocidad angular ω dentro de un campo B uniforme; θ es el ángulo entre B y el vector superficie S
a) (1,25 puntos) Determine el valor del flujo del campo magnético a través de una espira de la bobina cuando el campo magnético es perpendicular a la superficie de la espira (ángulo θ=0\theta = 0 rad) y para una orientación cualquiera (indique el resultado en función del ángulo θ\theta).

b) (1,25 puntos) A partir del flujo del campo magnético a través de la bobina, determine la evolución de la fuerza electromotriz en función del tiempo, suponiendo que inicialmente el ángulo θ\theta es igual a 00 rad. Calcule el valor máximo de la fuerza electromotriz inducida en la bobina.
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Resultado
  ϕ(θ=0)=3,20×10−5 Wb    ϕ(θ)=3,20×10−5cos⁡θ Wb  \boxed{\;\phi(\theta = 0) = 3{,}20\times 10^{-5}\ \text{Wb}\;}\qquad \boxed{\;\phi(\theta) = 3{,}20\times 10^{-5}\cos\theta\ \text{Wb}\;}  ε=1,21sin⁡(120πt) V    εmaˊx=1,21 V  \boxed{\;\varepsilon = 1{,}21\sin(120\pi t)\ \text{V}\;}\qquad \boxed{\;\varepsilon_{\text{máx}} = 1{,}21\ \text{V}\;}
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Solución oficial

Corrección oficial de la PAU de Cataluña (Generalitat de Catalunya), traducida del catalán. Las puntuaciones de cada paso son las de la pauta de corrección.
a)

0,6 p. ϕ=B⃗⋅S⃗=B⋅S⋅cos⁡(0)=0,1⋅0,02⋅0,016⋅1=3,20×10−5 Wb\phi = \vec B\cdot\vec S = B\cdot S\cdot\cos(0) = 0{,}1\cdot 0{,}02\cdot 0{,}016\cdot 1 = 3{,}20\times 10^{-5}\ \text{Wb}

0,65 p. ϕ=B⃗⋅S⃗=B⋅S⋅cos⁡(θ)=0,1⋅0,02⋅0,016⋅cos⁡(θ)=3,20×10−5cos⁡(θ) Wb\phi = \vec B\cdot\vec S = B\cdot S\cdot\cos(\theta) = 0{,}1\cdot 0{,}02\cdot 0{,}016\cdot\cos(\theta) = 3{,}20\times 10^{-5}\cos(\theta)\ \text{Wb}

b)

0,2 p. El ángulo en función del tiempo en segundos: θ=ωt=60 vueltass 2π1 vuelta t=120π t rad\theta = \omega t = 60\,\dfrac{\text{vueltas}}{\text{s}}\,\dfrac{2\pi}{1\ \text{vuelta}}\,t = 120\pi\,t\ \text{rad}

0,3 p. Teniendo en cuenta las condiciones iniciales, el flujo total a través de la bobina es:ϕ=N⋅B⃗⋅S⃗=100⋅3,20×10−5cos⁡(120π t)=3,20×10−3cos⁡(120π t) Wb\phi = N\cdot\vec B\cdot\vec S = 100\cdot 3{,}20\times 10^{-5}\cos(120\pi\,t) = 3{,}20\times 10^{-3}\cos(120\pi\,t)\ \text{Wb}0,5 p. Y, a partir de la ley de Faraday, la fem inducida es:ε=−dϕdt=−ddt[3,20×10−3cos⁡(120π t)]=120π⋅3,20×10−3sin⁡(120πt)\varepsilon = -\frac{d\phi}{dt} = -\frac{d}{dt}\left[3{,}20\times 10^{-3}\cos(120\pi\,t)\right] = 120\pi\cdot 3{,}20\times 10^{-3}\sin(120\pi t)Y la fuerza electromotriz se expresa como:ε=1,21sin⁡(120πt) V (t en s)\varepsilon = 1{,}21\sin(120\pi t)\ \text{V}\ (t\ \text{en s})0,25 p. Dado que ε=εmaˊx⋅sin⁡(ωt)\varepsilon = \varepsilon_{\text{máx}}\cdot\sin(\omega t), la fuerza electromotriz máxima es:εmaˊx=1,21 V\varepsilon_{\text{máx}} = 1{,}21\ \text{V}

Corrección oficial en PDF (original en catalán)

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