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Satélites, órbitas y leyes de Kepler

Cataluña · 2021 · Septiembre

Enunciado

Uno de los métodos empleados para detectar exoplanetas (planetas extrasolares) es la observación del tránsito planetario, un fenómeno astronómico que tiene lugar cuando un planeta pasa por delante de la estrella alrededor de la cual orbita y que se percibe desde la Tierra por la disminución de la luz de la estrella.

La gráfica siguiente muestra la variación de luminosidad provocada por el tránsito de un planeta que describe una órbita circular alrededor de una estrella. Esta estrella tiene una masa prácticamente idéntica a la masa del Sol. Considere que la constante de Kepler de este sistema es igual a la del sistema solar.

Luminosidad relativa de la estrella frente al tiempo en días: vale 1,000 salvo tres caídas hasta 0,993 centradas hacia los días 1, 9,5 y 18

a) (1,25 puntos) Calcule el periodo y el radio de la órbita.

b) (1,25 puntos) Determine el módulo de la velocidad y la aceleración centrípeta del planeta.

Dato: Radio orbital medio de la Tierra

= 1{,}00\ \text{ua} = 1{,}50\times 10^{11}\ \text{m}

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Resultado

\boxed{\;T = 8{,}5\ \text{días} = 7{,}34\times 10^{5}\ \text{s}\;}\qquad \boxed{\;r = 1{,}22\times 10^{10}\ \text{m} = 8{,}15\times 10^{-2}\ \text{ua}\;}

\boxed{\;v = 1{,}05\times 10^{5}\ \text{m/s}\;}\qquad \boxed{\;a_n = 0{,}895\ \text{m/s}^2\;}

Ver la solución oficialla corrección de la PAU, con los puntos de cada paso

Solución oficial

Corrección oficial de la PAU de Cataluña (Generalitat de Catalunya), traducida del catalán. Las puntuaciones de cada paso son las de la pauta de corrección.

a)

0,25 p. A partir de la gráfica,

2T = 17\ \text{días} \Longrightarrow T = 8{,}5\ \text{días} = 7{,}34\times 10^{5}\ \text{s}

.

De la tercera ley de Kepler y teniendo en cuenta que la constante de Kepler es igual a la de nuestro sistema solar:

0,7 p.

\frac{r_{orb\,tierra}^3}{T_{tierra}^2} = \frac{r_{orb\,planeta}^3}{T_{planeta}^2} \Longrightarrow r_{orb\,planeta} = r_{orb\,tierra}\left(\frac{T_{planeta}}{T_{tierra}}\right)^{\frac{2}{3}} = 1{,}22\times 10^{10}\ \text{m} = 8{,}15\times 10^{-2}\ \text{ua}

(0,3 p.)

Hay que tener presente que este no es el único planteamiento correcto; por ejemplo, también se puede resolver a partir de la segunda ley de Newton y la ley de la gravitación universal de Newton.

b)

0,45 p.