Dualidad onda-corpúsculo e incertidumbre

a) Al ser acelerados desde el reposo por la misma diferencia de potencial $\Delta V$, y teniendo ambos la misma carga en valor absoluto $e$, adquieren la misma energía cinética:$$E_c = e\,\Delta V \quad\text{(igual para los dos)}$$De ahí se deducen la velocidad y el momento lineal:$$\tfrac{1}{2}m\,v^2 = e\,\Delta V \quad\Longrightarrow\quad v = \sqrt{\frac{2\,e\,\Delta V}{m}} \qquad p = m\,v = \sqrt{2\,m\,e\,\Delta V}$$a) i) Falsa. La longitud de onda de De Broglie es$$\lambda = \frac{h}{p} = \frac{h}{\sqrt{2\,m\,e\,\Delta V}} \quad\Longrightarrow\quad \lambda \propto \frac{1}{\sqrt{m}}$$Como $m_p \gg m_e$, el electrón tiene una longitud de onda mucho mayor. Concretamente, siendo $m_p/m_e \approx 1836$:$$\frac{\lambda_e}{\lambda_p} = \sqrt{\frac{m_p}{m_e}} = \sqrt{1836} \approx 43$$No son iguales: la del electrón es unas $43$ veces mayor.

a) ii) Falsa. De la expresión de la velocidad:$$v \propto \frac{1}{\sqrt{m}} \quad\Longrightarrow\quad \frac{v_e}{v_p} = \sqrt{\frac{m_p}{m_e}} \approx 43$$El electrón se mueve unas $43$ veces más rápido que el protón. Lo que comparten es la energía cinética, no la velocidad: precisamente porque la energía es la misma, la partícula ligera tiene que moverse mucho más deprisa.

b) i) De la relación de De Broglie, $\lambda = h/(m_e v)$:$$v = \frac{h}{m_e\,\lambda} = \frac{6{,}63\cdot 10^{-34}}{9{,}1\cdot 10^{-31}\cdot 2{,}8\cdot 10^{-10}} = \frac{6{,}63\cdot 10^{-34}}{2{,}548\cdot 10^{-40}}$$$$v = 2{,}60\cdot 10^{6}\ \text{m}\,\text{s}^{-1}$$Es aproximadamente un $0{,}9\,\%$ de la velocidad de la luz, así que el tratamiento no relativista está justificado.

b) ii) Energía cinética:$$E_c = \tfrac{1}{2}m_e\,v^2 = 0{,}5\cdot 9{,}1\cdot 10^{-31}\cdot (2{,}60\cdot 10^{6})^2$$$$E_c = 0{,}5\cdot 9{,}1\cdot 10^{-31}\cdot 6{,}77\cdot 10^{12} = 3{,}08\cdot 10^{-18}\ \text{J}$$En electronvoltios:$$E_c = \frac{3{,}08\cdot 10^{-18}}{1{,}6\cdot 10^{-19}} = 19{,}3\ \text{eV}$$Un valor muy razonable: es la energía que adquiere un electrón acelerado por unos $19\,\text{V}$, y la longitud de onda resultante ($2{,}8$ ångström) es del orden de las distancias interatómicas. Por eso los electrones de esas energías sirven para estudiar la estructura de los cristales por difracción.