Núcleo atómico y reacciones nucleares

a) La gráfica de la energía de enlace por nucleón $E_e/A$ frente al número másico $A$ sube muy rápido para los núcleos ligeros, alcanza un máximo en torno a $A \approx 56$ (el hierro, con unos $8{,}8\,\text{MeV}$ por nucleón) y después desciende suavemente hasta unos $7{,}6\,\text{MeV}$ en los núcleos más pesados.

Cuanto mayor es la energía de enlace por nucleón, más estable es el núcleo. De la forma de la curva se deducen los dos procesos que liberan energía:

• Fusión (núcleos ligeros, $A < 56$): al unir dos núcleos pequeños se obtiene uno mayor, que está más arriba en la curva. Como el producto tiene más energía de enlace por nucleón, la diferencia se libera. Es lo que ocurre en las estrellas.
• Fisión (núcleos pesados, $A > 56$): al romper un núcleo muy grande se obtienen fragmentos de tamaño intermedio, que también están más arriba en la curva. De nuevo se libera la diferencia.

En ambos casos el sistema evoluciona hacia el máximo de la curva, que es la posición de mayor estabilidad.

b) i) Aplicamos las leyes de conservación del número másico y del número atómico paso a paso:

Emisión $\alpha$ ($A$ baja $4$, $Z$ baja $2$):$$^{218}_{84}\text{Po} \;\longrightarrow\; ^{214}_{82}\text{Pb} + ^{4}_{2}\text{He}$$Primera emisión $\beta^-$ ($A$ no cambia, $Z$ sube $1$):$$^{214}_{82}\text{Pb} \;\longrightarrow\; ^{214}_{83}\text{Bi} + ^{0}_{-1}e$$Segunda emisión $\beta^-$:$$^{214}_{83}\text{Bi} \;\longrightarrow\; ^{214}_{84}\text{Po} + ^{0}_{-1}e$$El proceso global es, por tanto:$$^{218}_{84}\text{Po} \;\longrightarrow\; ^{214}_{84}\text{Po} + ^{4}_{2}\text{He} + 2\,^{0}_{-1}e$$Se llega a otro isótopo del mismo elemento, el polonio: la $\alpha$ redujo $Z$ en dos unidades y las dos $\beta^-$ las devolvieron. El número másico $214$ es coherente con la masa dada, $213{,}995201\,\text{u}$.

b) ii) Comparamos la energía de enlace por nucleón de ambos núcleos.

Para el $^{218}_{84}\text{Po}$ ($Z = 84$ protones, $N = 218 - 84 = 134$ neutrones):$$\Delta m = 84\cdot 1{,}007276 + 134\cdot 1{,}008665 - 218{,}009007$$$$\Delta m = 84{,}611184 + 135{,}161110 - 218{,}009007 = 1{,}763287\ \text{u}$$$$E_e = \Delta m\,c^2 = 1{,}763287\cdot 1{,}66\cdot 10^{-27}\cdot (3\cdot 10^{8})^2 = 2{,}634\cdot 10^{-10}\ \text{J}$$$$\frac{E_e}{A} = \frac{2{,}634\cdot 10^{-10}}{218} = 1{,}208\cdot 10^{-12}\ \text{J} = 7{,}55\ \text{MeV/nucleón}$$Para el $^{214}_{84}\text{Po}$ ($Z = 84$, $N = 130$):$$\Delta m = 84{,}611184 + 130\cdot 1{,}008665 - 213{,}995201$$$$\Delta m = 84{,}611184 + 131{,}126450 - 213{,}995201 = 1{,}742433\ \text{u}$$$$E_e = 1{,}742433\cdot 1{,}66\cdot 10^{-27}\cdot 9\cdot 10^{16} = 2{,}603\cdot 10^{-10}\ \text{J}$$$$\frac{E_e}{A} = \frac{2{,}603\cdot 10^{-10}}{214} = 1{,}216\cdot 10^{-12}\ \text{J} = 7{,}60\ \text{MeV/nucleón}$$Conclusión: el $^{214}_{84}\text{Po}$ tiene una energía de enlace por nucleón mayor ($7{,}60$ frente a $7{,}55\,\text{MeV}$), luego es el más estable de los dos. Es coherente con la gráfica del apartado a): en la zona de los núcleos pesados la curva desciende con $A$, así que al perder nucleones el núcleo sube hacia el máximo y gana estabilidad. Y también con el hecho de que la desintegración ocurra espontáneamente en ese sentido.

Nótese que la energía de enlace total es mayor en el $^{218}\text{Po}$ ($2{,}634$ frente a $2{,}603\cdot 10^{-10}\,\text{J}$): simplemente tiene más nucleones. Por eso la comparación debe hacerse por nucleón.