Dualidad onda-corpúsculo e incertidumbre

a) i) Con la misma velocidad. El momento lineal es $p = m\,v$, luego$$\lambda = \frac{h}{m\,v} \quad\Longrightarrow\quad \lambda \propto \frac{1}{m}$$$$\frac{\lambda_\pi}{\lambda_e} = \frac{m_e}{m_\pi} = \frac{1}{275}$$La longitud de onda del electrón es $275$ veces mayor que la del mesón. Es decir, $\lambda_e = 275\,\lambda_\pi$.

a) ii) Con la misma energía cinética. Ahora conviene escribir el momento en función de la energía:$$E_c = \frac{p^2}{2\,m} \quad\Longrightarrow\quad p = \sqrt{2\,m\,E_c}$$$$\lambda = \frac{h}{\sqrt{2\,m\,E_c}} \quad\Longrightarrow\quad \lambda \propto \frac{1}{\sqrt{m}}$$$$\frac{\lambda_\pi}{\lambda_e} = \sqrt{\frac{m_e}{m_\pi}} = \frac{1}{\sqrt{275}} = \frac{1}{16{,}6}$$La del electrón sigue siendo mayor, pero ahora solo $16{,}6$ veces, no $275$. La raíz cuadrada "suaviza" mucho la diferencia de masas: es exactamente lo que la pregunta quiere que se distinga.

b) i) Aplicamos directamente la relación de De Broglie a la molécula de hidrógeno:$$\lambda = \frac{h}{m\,v} = \frac{6{,}63\cdot 10^{-34}}{3{,}346\cdot 10^{-27}\cdot 1846} = \frac{6{,}63\cdot 10^{-34}}{6{,}177\cdot 10^{-24}}$$$$\lambda = 1{,}07\cdot 10^{-10}\ \text{m}$$Es del orden del tamaño de un átomo, lo que explica que los efectos cuánticos sean apreciables en los gases muy fríos o muy ligeros.

b) ii) Que las longitudes de onda sean iguales equivale a que lo sean los momentos lineales, ya que $\lambda = h/p$:$$m_e\,v_e = m_{H_2}\,v_{H_2} \quad\Longrightarrow\quad v_e = \frac{m_{H_2}}{m_e}\,v_{H_2}$$$$v_e = \frac{3{,}346\cdot 10^{-27}}{9{,}1\cdot 10^{-31}}\cdot 1846 = 3677\cdot 1846$$$$v_e = 6{,}79\cdot 10^{6}\ \text{m}\,\text{s}^{-1}$$Se puede comprobar por la vía larga y sale lo mismo:$$v_e = \frac{h}{m_e\,\lambda} = \frac{6{,}63\cdot 10^{-34}}{9{,}1\cdot 10^{-31}\cdot 1{,}07\cdot 10^{-10}} = 6{,}79\cdot 10^{6}\ \text{m}\,\text{s}^{-1}\ \checkmark$$El electrón, unas $3700$ veces más ligero, necesita moverse $3700$ veces más rápido para tener el mismo momento lineal y, con él, la misma longitud de onda.