Dualidad onda-corpúsculo e incertidumbre

a) La hipótesis de De Broglie (1924) establece que toda partícula material en movimiento lleva asociada una onda, del mismo modo que la radiación electromagnética presenta comportamiento corpuscular. Es la generalización de la dualidad onda-corpúsculo a toda la materia.

La longitud de onda asociada es inversamente proporcional al momento lineal de la partícula:$$\lambda = \frac{h}{p} = \frac{h}{m\,v}$$Las magnitudes involucradas, con sus unidades en el S.I.:

• $\lambda$: longitud de onda asociada, en metros ($\text{m}$).
• $h$: constante de Planck, $6{,}63\cdot 10^{-34}$, en julios·segundo ($\text{J}\,\text{s}$).
• $p = m\,v$: momento lineal o cantidad de movimiento, en $\text{kg}\,\text{m}\,\text{s}^{-1}$.
• $m$: masa de la partícula, en kilogramos ($\text{kg}$).
• $v$: velocidad, en $\text{m}\,\text{s}^{-1}$.

La hipótesis quedó confirmada experimentalmente en 1927 con la difracción de electrones por un cristal de níquel (experimento de Davisson y Germer): los electrones producían un patrón de difracción, un comportamiento exclusivamente ondulatorio. El carácter ondulatorio pasa desapercibido en los objetos macroscópicos porque, al ser $h$ tan pequeña, sus longitudes de onda son inimaginablemente menores que cualquier tamaño observable.

b) i) De la energía cinética obtenemos la velocidad:$$E_c = \tfrac{1}{2}m_\alpha\,v^2 \quad\Longrightarrow\quad v = \sqrt{\frac{2\,E_c}{m_\alpha}} = \sqrt{\frac{2\cdot 6{,}72\cdot 10^{-13}}{6{,}64\cdot 10^{-27}}}$$$$v = \sqrt{2{,}024\cdot 10^{14}} = 1{,}42\cdot 10^{7}\ \text{m}\,\text{s}^{-1}$$Momento lineal:$$p = m_\alpha\,v = 6{,}64\cdot 10^{-27}\cdot 1{,}42\cdot 10^{7} = 9{,}45\cdot 10^{-20}\ \text{kg}\,\text{m}\,\text{s}^{-1}$$Y la longitud de onda:$$\lambda = \frac{h}{p} = \frac{6{,}63\cdot 10^{-34}}{9{,}45\cdot 10^{-20}}$$$$\lambda = 7{,}02\cdot 10^{-15}\ \text{m}$$Es del orden del tamaño de un núcleo atómico ($\sim 10^{-15}\,\text{m}$), lo que explica que las partículas alfa fuesen la herramienta idónea de Rutherford para sondear la estructura nuclear.

b) ii) Para detener por completo la partícula, el trabajo del campo eléctrico debe absorber toda su energía cinética:$$|q|\,\Delta V = E_c$$Aquí está el detalle importante: la partícula alfa es un núcleo de helio, con dos protones, luego su carga es$$q = +2e = 3{,}2\cdot 10^{-19}\ \text{C}$$$$\Delta V = \frac{E_c}{2e} = \frac{6{,}72\cdot 10^{-13}}{3{,}2\cdot 10^{-19}}$$$$\Delta V = 2{,}1\cdot 10^{6}\ \text{V}$$Hacen falta más de dos millones de voltios, lo que da idea de la enorme energía de las partículas alfa emitidas en las desintegraciones nucleares.

Esquema y sentido del campo. La fuerza sobre la partícula debe ser opuesta a su velocidad para frenarla. Como su carga es positiva, la fuerza tiene el mismo sentido que el campo:$$\vec{F} = q\,\vec{E}$$Por tanto, el campo eléctrico debe apuntar en sentido contrario al movimiento de la partícula alfa. Equivalentemente: la partícula debe avanzar hacia potenciales crecientes, "subiendo" la cuesta de potencial hasta detenerse. En el esquema, si la alfa se mueve hacia la derecha, las líneas de campo apuntan hacia la izquierda, y la placa de la derecha está a mayor potencial (positiva) que la de la izquierda.