Efecto fotoeléctrico y cuantización

a) Falsa. La ecuación de Einstein del efecto fotoeléctrico establece que la energía del fotón se reparte en dos términos:$$h\,f = W_0 + E_{c,\text{máx}}$$Una parte, el trabajo de extracción $W_0$, se invierte en arrancar el electrón del metal (en vencer las fuerzas que lo mantienen ligado). Solo el resto aparece como energía cinética:$$E_{c,\text{máx}} = h\,f - W_0 < h\,f$$Los electrones emitidos tienen, por tanto, menos energía que los fotones incidentes, y la diferencia es exactamente $W_0$.

Hay dos matices que conviene añadir:

• $E_{c,\text{máx}}$ es la energía máxima, la de los electrones más superficiales. Los que provienen de capas más internas del metal necesitan más energía para salir y emergen con menos energía cinética todavía.
• Solo en el caso límite $W_0 = 0$ —que no ocurre en ningún metal real— coincidirían ambas energías.

b) i) Calculamos primero las frecuencias de los dos haces:$$f_1 = \frac{c}{\lambda_1} = \frac{3\cdot 10^{8}}{1{,}5\cdot 10^{-7}} = 2\cdot 10^{15}\ \text{Hz}$$$$f_2 = \frac{c}{\lambda_2} = \frac{3\cdot 10^{8}}{1\cdot 10^{-7}} = 3\cdot 10^{15}\ \text{Hz}$$La ecuación de Einstein se cumple en las dos experiencias, con el mismo trabajo de extracción (es el mismo metal):$$E_{c1} = h\,f_1 - W_0 \qquad E_{c2} = h\,f_2 - W_0$$Restando ambas, el término $W_0$ desaparece:$$E_{c2} - E_{c1} = h\,(f_2 - f_1) \quad\Longrightarrow\quad h = \frac{E_{c2} - E_{c1}}{f_2 - f_1}$$Sustituyendo, con las energías pasadas a julios:$$E_{c2} - E_{c1} = (7{,}66 - 3{,}52)\cdot 1{,}6\cdot 10^{-19} = 4{,}14\cdot 1{,}6\cdot 10^{-19} = 6{,}624\cdot 10^{-19}\ \text{J}$$$$f_2 - f_1 = 3\cdot 10^{15} - 2\cdot 10^{15} = 1\cdot 10^{15}\ \text{Hz}$$$$h = \frac{6{,}624\cdot 10^{-19}}{1\cdot 10^{15}}$$$$h = 6{,}62\cdot 10^{-34}\ \text{J}\,\text{s}$$Un valor prácticamente idéntico al aceptado, $6{,}626\cdot 10^{-34}\,\text{J}\,\text{s}$. Éste es, en esencia, el método con el que Millikan determinó experimentalmente la constante de Planck en 1916, confirmando la hipótesis de Einstein.

b) ii) Con $h$ ya conocida, usamos cualquiera de las dos experiencias para obtener el trabajo de extracción:$$W_0 = h\,f_1 - E_{c1} = 6{,}624\cdot 10^{-34}\cdot 2\cdot 10^{15} - 3{,}52\cdot 1{,}6\cdot 10^{-19}$$$$W_0 = 1{,}325\cdot 10^{-18} - 5{,}632\cdot 10^{-19} = 7{,}62\cdot 10^{-19}\ \text{J} = 4{,}76\ \text{eV}$$Y la frecuencia umbral es aquella para la que un fotón tiene justo la energía necesaria para arrancar el electrón, sin sobrante cinético:$$f_0 = \frac{W_0}{h} = \frac{7{,}62\cdot 10^{-19}}{6{,}624\cdot 10^{-34}}$$$$f_0 = 1{,}15\cdot 10^{15}\ \text{Hz}$$(Corresponde a una longitud de onda umbral de $\lambda_0 = c/f_0 = 2{,}6\cdot 10^{-7}\,\text{m}$, en el ultravioleta: por eso el platino no emite electrones con luz visible.)

Se puede comprobar con la segunda experiencia: $W_0 = 6{,}624\cdot 10^{-34}\cdot 3\cdot 10^{15} - 7{,}66\cdot 1{,}6\cdot 10^{-19} = 1{,}987\cdot 10^{-18} - 1{,}226\cdot 10^{-18} = 7{,}62\cdot 10^{-19}\,\text{J}$ ✓.