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Problema resuelto de Física: Radiactividad y desintegraciónSelectividad (PAU) · Comunitat Valenciana 2020 · Julio

Enunciado

^{222}\text{Rn}

(radón 222) es un gas radiactivo natural presente en el aire de los espacios cerrados. Se realizan medidas para determinar la masa y la actividad de dicho gas.

a) Determina la actividad en becquerel de un cierto volumen de aire si la masa de

^{222}\text{Rn}

que se mide es de

0{,}02\,\text{pg}

. (1 punto)

b) La actividad medida en otro volumen de aire es de

228\,\text{Bq}

. Si dicho volumen se aísla, y se vuelve a medir al cabo de

11{,}4

días, ¿cuánta actividad, debida al

^{222}\text{Rn}

, se tendrá? ¿Cuánto valdrá la masa de

^{222}\text{Rn}

correspondiente? (1 punto)

Dato: masa de un átomo de

^{222}\text{Rn}

3{,}7\cdot10^{-25}\,\text{kg}

; periodo de semidesintegración del

^{222}\text{Rn}

3{,}8

días

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\lambda = 2{,}11\cdot10^{-6}\,\text{s}^{-1}

N = 5{,}41\cdot10^7

núcleos y

A = \lambda N = 114\,\text{Bq}

.

b) Tras

11{,}4

días (tres periodos),

A = 228/8 = 28{,}5\,\text{Bq}

, que corresponden a

N = 1{,}35\cdot10^7

núcleos y

m = 5{,}0\cdot10^{-18}\,\text{kg} = 0{,}005\,\text{pg}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

La actividad es el número de desintegraciones por segundo y vale

A = \lambda N

: la constante de desintegración por el número de núcleos. El número de núcleos sale de la masa medida dividida entre la masa de un átomo, y

\lambda

, del periodo de semidesintegración (en segundos, para que la actividad salga en becquerel). En b),

11{,}4

días son exactamente tres periodos: la actividad se divide entre

2^3 = 8

. La masa que queda se obtiene deshaciendo el camino de a).

Atención a las unidades:

1\,\text{pg} = 10^{-12}\,\text{g} = 10^{-15}\,\text{kg}

Desarrollo

a) Constante de desintegración. El periodo de semidesintegración en segundos es

T_{1/2} = 3{,}8\cdot86400 = 3{,}28\cdot10^{5}\,\text{s}

, y

\lambda = \frac{\ln 2}{T_{1/2}} = \frac{0{,}693}{3{,}28\cdot10^{5}} = 2{,}11\cdot10^{-6}\,\text{s}^{-1}

Número de núcleos. La masa es

m = 0{,}02\,\text{pg} = 0{,}02\cdot10^{-15}\,\text{kg} = 2\cdot10^{-17}\,\text{kg}

N = \frac{m}{m_{\text{átomo}}} = \frac{2\cdot10^{-17}}{3{,}7\cdot10^{-25}} = 5{,}41\cdot10^{7}\ \text{núcleos}

Actividad. Es el ritmo de desintegración,

A = \left|\dfrac{dN}{dt}\right| = \lambda N

A = 2{,}11\cdot10^{-6}\cdot5{,}41\cdot10^{7} = 114\,\text{Bq}

b) Actividad al cabo de 11,4 días. La actividad decae con la misma ley que el número de núcleos:

A = A_0\,e^{-\lambda t} = A_0\left(\frac12\right)^{t/T_{1/2}}

Con

t/T_{1/2} = 11{,}4/3{,}8 = 3

A = 228\cdot\left(\frac12\right)^{3} = \frac{228}{8} = 28{,}5\,\text{Bq}

Masa correspondiente. El número de núcleos que quedan es

N = \frac{A}{\lambda} = \frac{28{,}5}{2{,}11\cdot10^{-6}} = 1{,}35\cdot10^{7}\ \text{núcleos}

m = N\,m_{\text{átomo}} = 1{,}35\cdot10^{7}\cdot3{,}7\cdot10^{-25} = 5{,}0\cdot10^{-18}\,\text{kg} = 0{,}005\,\text{pg}

(Se ve también por proporción:

228\,\text{Bq}

es prácticamente el doble de la actividad de a) (

2\cdot114 = 228

), así que al principio había unos

0{,}04\,\text{pg}

, y tras tres periodos queda la octava parte,

0{,}005\,\text{pg}

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

Pasa el periodo a segundos antes de calcular $\lambda$ : si lo dejas en días, la actividad te sale en desintegraciones por día y no en becquerel. Escribe $A = \lambda N$ de forma explícita, que es lo primero que puntúa el corrector (0,4). Y cuando el tiempo sea un número entero de periodos, aprovéchalo: dividir entre $2^n$ es más rápido y evita errores con la exponencial.