FísicaMedioProblema · 2 pts

Movimiento de cargas: fuerza de LorentzSelectividad (PAU) · Comunitat Valenciana 2020 · Julio

Comunitat Valenciana · 2020 · Julio
Enunciado
Un ion con carga q=3,2⋅10−19 Cq = 3{,}2\cdot10^{-19}\,\text{C}, entra con velocidad constante v⃗=20 ȷ⃗ m/s\vec v = 20\,\vec\jmath\ \text{m/s} en una región del espacio en la que existen un campo magnético uniforme B⃗=−20 ı⃗ T\vec B = -20\,\vec\imath\ \text{T} y un campo eléctrico uniforme E⃗\vec E. Desprecia el campo gravitatorio.

a) Calcula el valor del vector E⃗\vec E necesario para que el movimiento del ion sea rectilíneo y uniforme. (1 punto)

b) Calcula los vectores fuerza que actúan sobre el ion (dirección y sentido) en esta región del espacio. Representa claramente los vectores v⃗\vec v, B⃗\vec B, E⃗\vec E y dichos vectores fuerza. (1 punto)
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Resultado
a) E⃗=−v⃗×B⃗=−400 k⃗ N/C\vec E = -\vec v\times\vec B = -400\,\vec k\ \text{N/C} (E=vB=400 N/CE = vB = 400\,\text{N/C}).

b) F⃗B=1,28⋅10−16 k⃗ N\vec F_B = 1{,}28\cdot10^{-16}\,\vec k\ \text{N} (eje ZZ, sentido ++) y F⃗E=−1,28⋅10−16 k⃗ N\vec F_E = -1{,}28\cdot10^{-16}\,\vec k\ \text{N} (eje ZZ, sentido −-); se anulan. v⃗\vec v va según +Y+Y, B⃗\vec B según −X-X y E⃗\vec E según −Z-Z.
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Estrategia

Es un selector de velocidades. Sobre el ion actúan dos fuerzas: la magnética, q v⃗×B⃗q\,\vec v\times\vec B, y la eléctrica, qE⃗q\vec E. Para que se mueva en línea recta y con velocidad constante, la fuerza total tiene que ser nula (primera ley de Newton): la eléctrica debe anular exactamente a la magnética. Así que primero calculamos la fuerza magnética y después elegimos E⃗\vec E para compensarla.
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Desarrollo

a) Fuerza de Lorentz. La fuerza total sobre una carga en un campo eléctrico y otro magnético esF⃗=q E⃗+q v⃗×B⃗\vec F = q\,\vec E + q\,\vec v\times\vec BCondición de movimiento rectilíneo y uniforme. Si la velocidad es constante, la aceleración es nula y, por la segunda ley de Newton, F⃗=0\vec F = 0:q E⃗+q v⃗×B⃗=0⇒E⃗=− v⃗×B⃗q\,\vec E + q\,\vec v\times\vec B = 0\quad\Rightarrow\quad \vec E = -\,\vec v\times\vec BProducto vectorial. Con ȷ⃗×ı⃗=−k⃗\vec\jmath\times\vec\imath = -\vec k:v⃗×B⃗=(20 ȷ⃗)×(−20 ı⃗)=−400 (ȷ⃗×ı⃗)=400 k⃗  m T/s\vec v\times\vec B = (20\,\vec\jmath)\times(-20\,\vec\imath) = -400\,(\vec\jmath\times\vec\imath) = 400\,\vec k\ \ \text{m T/s}Campo eléctrico necesario.E⃗=−400 k⃗ N/C (o V/m)\vec E = -400\,\vec k\ \text{N/C}\ (\text{o V/m})Su módulo cumple la relación del selector, E=v B=20⋅20=400 N/CE = v\,B = 20\cdot20 = 400\,\text{N/C}, y es perpendicular tanto a v⃗\vec v como a B⃗\vec B. No depende de la carga del ion.

b) Fuerza magnética.F⃗B=q v⃗×B⃗=3,2⋅10−19⋅400 k⃗=1,28⋅10−16 k⃗ N\vec F_B = q\,\vec v\times\vec B = 3{,}2\cdot10^{-19}\cdot400\,\vec k = 1{,}28\cdot10^{-16}\,\vec k\ \text{N}Dirección del eje ZZ, sentido positivo.

Fuerza eléctrica.F⃗E=q E⃗=3,2⋅10−19⋅(−400 k⃗)=−1,28⋅10−16 k⃗ N\vec F_E = q\,\vec E = 3{,}2\cdot10^{-19}\cdot(-400\,\vec k) = -1{,}28\cdot10^{-16}\,\vec k\ \text{N}Dirección del eje ZZ, sentido negativo: como la carga es positiva, va en el sentido de E⃗\vec E.

Fuerza total. F⃗B+F⃗E=0\vec F_B + \vec F_E = 0: el ion sigue recto con v⃗=20 ȷ⃗ m/s\vec v = 20\,\vec\jmath\ \text{m/s}.

Representación (ejes XX, YY, ZZ a derechas):
Plano YZ con el eje X saliendo del papel: el ion positivo avanza según +Y, el campo magnético, según −X, entra en el papel; la fuerza magnética apunta según +Z, hacia arriba, y la eléctrica, igual y opuesta, según −Z, igual que el campo eléctrico
Plano YZ con el eje X saliendo del papel: el ion positivo avanza según +Y, el campo magnético, según −X, entra en el papel; la fuerza magnética apunta según +Z, hacia arriba, y la eléctrica, igual y opuesta, según −Z, igual que el campo eléctrico
  • v⃗\vec v: sobre el eje YY, sentido positivo.
  • B⃗\vec B: sobre el eje XX, sentido negativo.
  • E⃗\vec E: sobre el eje ZZ, sentido negativo.
  • F⃗B\vec F_B: sobre el eje ZZ, sentido positivo.
  • F⃗E\vec F_E: sobre el eje ZZ, sentido negativo, con la misma longitud que F⃗B\vec F_B.
Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)
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Consejo

El planteamiento «fuerza total nula» vale 0,4 y el dibujo de los cinco vectores, 0,5 de b): no lo dejes para el final. Haz el producto vectorial con los vectores unitarios (ȷ⃗×ı⃗=−k⃗\vec\jmath\times\vec\imath = -\vec k) o con el determinante, y comprueba el resultado con la regla de la mano derecha. Un fallo de signo en v⃗×B⃗\vec v\times\vec B invierte E⃗\vec E y te deja sin la mitad del problema.
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