FísicaMedioProblema · 2 pts

Satélites, órbitas y leyes de KeplerSelectividad (PAU) · Comunitat Valenciana 2020 · Julio

Comunitat Valenciana · 2020 · Julio
Enunciado
Syncom 3 fue un satélite de telecomunicaciones de masa 40 kg40\,\text{kg}, que describía órbitas circulares a una altura de 35800 km35800\,\text{km} sobre la superficie terrestre.

a) Deduce la expresión de la velocidad orbital de un satélite y calcula el valor en este caso, así como el periodo de la órbita (en horas). (1 punto)

b) Calcula las energías potencial y cinética del satélite en su movimiento por dicha órbita. Calcula la energía que se debe aportar al satélite para que se sitúe en una órbita en la que su energía mecánica sea E=−9,5⋅107 JE = -9{,}5\cdot10^{7}\,\text{J}. (1 punto)

Datos: constante de gravitación universal, G=6,67⋅10−11 N m2 kg−2G = 6{,}67\cdot10^{-11}\,\text{N m}^2\,\text{kg}^{-2}; masa de la Tierra, MT=6⋅1024 kgM_T = 6\cdot10^{24}\,\text{kg}; radio de la Tierra, RT=6,4⋅106 mR_T = 6{,}4\cdot10^{6}\,\text{m}
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Resultado
a) v=GMT/r=3,08⋅103 m/sv = \sqrt{GM_T/r} = 3{,}08\cdot10^3\,\text{m/s} con r=4,22⋅107 mr = 4{,}22\cdot10^7\,\text{m}; T=8,61⋅104 s=23,9 hT = 8{,}61\cdot10^4\,\text{s} = 23{,}9\,\text{h}.

b) Ep=−3,79⋅108 JE_p = -3{,}79\cdot10^8\,\text{J}, Ec=1,90⋅108 JE_c = 1{,}90\cdot10^8\,\text{J} (y Em=−1,90⋅108 JE_m = -1{,}90\cdot10^8\,\text{J}). Hay que aportar ΔE=9,47⋅107 J\Delta E = 9{,}47\cdot10^7\,\text{J}.
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Estrategia

En una órbita circular la única fuerza sobre el satélite es la gravitatoria, y es la que le da la aceleración centrípeta: de ahí sale la velocidad orbital. El periodo es lo que tarda en recorrer la circunferencia. Para las energías, la potencial es la gravitatoria y la cinética sale de la velocidad orbital; su suma es la energía mecánica, que en una órbita circular es negativa. La energía que hay que aportar para pasar a otra órbita es la diferencia entre la mecánica final y la inicial.

Ojo con el radio: la altura se mide desde la superficie, así que r=RT+hr = R_T + h.
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Desarrollo

a) Radio de la órbita.r=RT+h=6,4⋅106+3,58⋅107=4,22⋅107 mr = R_T + h = 6{,}4\cdot10^6 + 3{,}58\cdot10^7 = 4{,}22\cdot10^{7}\,\text{m}Velocidad orbital. Por la segunda ley de Newton, la fuerza gravitatoria es la fuerza centrípeta:G MT mr2=m v2r⇒v=G MTrG\,\frac{M_T\,m}{r^2} = m\,\frac{v^2}{r}\quad\Rightarrow\quad v = \sqrt{\frac{G\,M_T}{r}}No depende de la masa del satélite. Numéricamente:v=6,67⋅10−11⋅6⋅10244,22⋅107=9,48⋅106=3,08⋅103 m/sv = \sqrt{\frac{6{,}67\cdot10^{-11}\cdot6\cdot10^{24}}{4{,}22\cdot10^{7}}} = \sqrt{9{,}48\cdot10^{6}} = 3{,}08\cdot10^{3}\,\text{m/s}Periodo. El satélite recorre 2πr2\pi r a velocidad constante:T=2π rv=2π⋅4,22⋅1073,08⋅103=8,61⋅104 s=8,61⋅1043600 h=23,9 hT = \frac{2\pi\,r}{v} = \frac{2\pi\cdot4{,}22\cdot10^7}{3{,}08\cdot10^3} = 8{,}61\cdot10^{4}\,\text{s} = \frac{8{,}61\cdot10^4}{3600}\,\text{h} = 23{,}9\,\text{h}Casi un día: Syncom 3 fue el primer satélite geoestacionario.

b) Energía potencial.Ep=−G MT mr=−6,67⋅10−11⋅6⋅1024⋅404,22⋅107=−3,79⋅108 JE_p = -G\,\frac{M_T\,m}{r} = -\frac{6{,}67\cdot10^{-11}\cdot6\cdot10^{24}\cdot40}{4{,}22\cdot10^{7}} = -3{,}79\cdot10^{8}\,\text{J}Energía cinética. Con v2=GMT/rv^2 = GM_T/r:Ec=12 m v2=12 G MT mr=−Ep2=1,90⋅108 JE_c = \frac12\,m\,v^2 = \frac12\,G\,\frac{M_T\,m}{r} = -\frac{E_p}{2} = 1{,}90\cdot10^{8}\,\text{J}Energía mecánica en la órbita.Em=Ec+Ep=−12 G MT mr=−1,90⋅108 JE_m = E_c + E_p = -\frac12\,G\,\frac{M_T\,m}{r} = -1{,}90\cdot10^{8}\,\text{J}Energía que hay que aportar. Para pasar a una órbita con E=−9,5⋅107 JE = -9{,}5\cdot10^7\,\text{J} hay que darle al satélite la diferencia de energía mecánica:ΔE=E−Em=−9,5⋅107−(−1,90⋅108)=9,47⋅107 J\Delta E = E - E_m = -9{,}5\cdot10^{7} - (-1{,}90\cdot10^{8}) = 9{,}47\cdot10^{7}\,\text{J}Es positiva: la órbita nueva tiene una energía mecánica menos negativa, así que es una órbita más alejada (de radio r′=GMTm/(2⋅9,5⋅107)=8,4⋅107 mr' = GM_Tm/(2\cdot9{,}5\cdot10^7) = 8{,}4\cdot10^7\,\text{m}, el doble del actual).
Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)
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Consejo

El corrector exige deducir la velocidad orbital desde la segunda ley de Newton (0,4 de 1 punto): escribe la igualdad entre la fuerza gravitatoria y la centrípeta, no solo la fórmula final. Suma el radio de la Tierra a la altura antes de nada, que es el fallo más repetido, y en el cambio de órbita razona que la energía aportada es Efinal−EinicialE_{final} - E_{inicial} de la energía mecánica, no solo de la potencial.
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