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Problema resuelto de Física: Ondas mecánicas: armónicas y estacionariasSelectividad (PAU) · Comunitat Valenciana 2020 · Julio

Enunciado

Escribe la expresión del nivel sonoro (en dB) en función de la intensidad de un sonido. A una cierta distancia del punto de explosión de un petardo se mide una intensidad de

1\,\text{W m}^{-2}

. ¿Qué nivel de intensidad en dB tendremos en este punto? Calcula la intensidad en

\text{W m}^{-2}

que se medirá al duplicar la distancia. (Considera que la onda sonora es esférica).

Dato: Intensidad umbral de referencia

I_0 = 10^{-12}\,\text{W m}^{-2}

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Resultado

$\beta = 10\log(I/I_0)$ en dB.
En el punto: $\beta = 120\,\text{dB}$ .
Al duplicar la distancia: $I_2 = I_1/4 = 0{,}25\,\text{W m}^{-2}$ (unos $114\,\text{dB}$ ).

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Estrategia

Dos ideas: el nivel sonoro es una escala logarítmica que compara la intensidad con el umbral de audición, y en una onda esférica la potencia del foco se reparte sobre una esfera cada vez mayor, así que la intensidad baja con el cuadrado de la distancia. Al doblar la distancia, la intensidad se divide entre cuatro.

Desarrollo

Nivel de intensidad sonora. Se define como

\beta = 10\,\log\frac{I}{I_0}\quad(\text{dB})

con

I_0 = 10^{-12}\,\text{W m}^{-2}

la intensidad umbral de referencia.

Nivel en el punto. Con

I = 1\,\text{W m}^{-2}

\beta = 10\,\log\frac{1}{10^{-12}} = 10\,\log 10^{12} = 10\cdot12 = 120\,\text{dB}

Es el umbral del dolor: un petardo de cerca es literalmente doloroso.

Intensidad al duplicar la distancia. Si el foco emite una potencia

P

en todas direcciones, a una distancia

r

esa potencia atraviesa una esfera de área

4\pi r^2

I = \frac{P}{4\pi r^2}\quad\Rightarrow\quad \frac{I_2}{I_1} = \frac{r_1^2}{r_2^2}

Con

r_2 = 2r_1

I_2 = I_1\,\frac{r_1^2}{(2r_1)^2} = \frac{I_1}{4} = \frac{1}{4} = 0{,}25\,\text{W m}^{-2}

(El nivel correspondiente sería

\beta_2 = 10\log(0{,}25\cdot10^{12}) = 114\,\text{dB}

: al doblar la distancia el nivel baja unos

6\,\text{dB}

, no a la mitad.)

Consejo

Escribe la ley del inverso del cuadrado y de dónde sale ( $P$ repartida sobre $4\pi r^2$ ): esa expresión vale 0,4 por sí sola. El error clásico es aplicar el «doble de distancia» al nivel en decibelios y decir 60 dB; la proporción se aplica a la intensidad, nunca a los decibelios.