Problema resuelto de Física: Ondas mecánicas: armónicas y estacionariasSelectividad (PAU) · Comunitat Valenciana 2020 · Septiembre

a) Amplitud. La elongación máxima de la figura es$$A = 4\,\text{cm} = 0{,}04\,\text{m}$$Longitud de onda. Las crestas están en $x = 2{,}5\,\text{cm}$ y $x = 12{,}5\,\text{cm}$, y la onda corta el eje subiendo en $x = 0$ y en $x = 10\,\text{cm}$: el ciclo se repite cada$$\lambda = 10\,\text{cm} = 0{,}10\,\text{m}$$Periodo. En un periodo la onda avanza una longitud de onda:$$T = \frac{\lambda}{v} = \frac{10\,\text{cm}}{5\,\text{cm/s}} = 2\,\text{s}$$Número de onda y frecuencia angular.$$k = \frac{2\pi}{\lambda} = \frac{2\pi}{10} = \frac{\pi}{5}\,\text{rad/cm} = 20\pi\,\text{rad/m}, \qquad \omega = \frac{2\pi}{T} = \pi\,\text{rad/s}$$Diferencia de fase. Como la onda viaja en el sentido negativo del eje, su fase es $\varphi(x,t) = \omega t + k x$. Entre dos puntos separados $\Delta x = 15\,\text{cm}$ y en instantes separados $\Delta t = 3\,\text{s}$:$$\Delta\varphi = \omega\,\Delta t + k\,\Delta x = \pi\cdot3 + \frac{\pi}{5}\cdot15 = 3\pi + 3\pi = 6\pi\,\text{rad}$$(si el punto más alejado se toma en el instante anterior, los dos términos se restan y $\Delta\varphi = 0$). En los dos casos la diferencia de fase es un múltiplo entero de $2\pi$: los dos puntos están en fase, en el mismo estado de vibración. Tiene sentido: $15\,\text{cm}$ son una longitud y media y $3\,\text{s}$ un periodo y medio, y cada «media» supone un desfase de $\pi$; las dos se suman o se cancelan dando un número entero de ciclos.

b) Función de onda. Con fase inicial nula y propagación hacia $x$ negativas:$$y(x,t) = A\,\sin(\omega t + k x) = 4\,\sin\!\left(\pi t + \frac{\pi}{5}\,x\right)\ \ (y,\,x\ \text{en cm};\ t\ \text{en s})$$o en unidades del SI, $y(x,t) = 0{,}04\,\sin(\pi t + 20\pi x)\ \text{m}$. A $t = 0$ queda $y = 4\sin(\pi x/5)$, que es justo la curva de la figura (sube desde cero en $x = 0$).

Velocidad de vibración. Es la derivada de la elongación respecto al tiempo (no es la velocidad de propagación):$$v_y(x,t) = \frac{\partial y}{\partial t} = A\,\omega\,\cos(\omega t + k x) = 4\pi\,\cos\!\left(\pi t + \frac{\pi}{5}\,x\right)\ \ \text{cm/s}$$En $x = 0$ y $t = 0$.$$v_y(0,0) = 4\pi\cos0 = 4\pi\,\text{cm/s} = 12{,}6\,\text{cm/s} = 0{,}126\,\text{m/s}$$Es la velocidad máxima de vibración: en ese instante el punto pasa por la posición de equilibrio, y sube (la onda que llega desde la derecha trae la cresta de $x = 2{,}5\,\text{cm}$).