FísicaMedioProblema · 2 pts

Satélites, órbitas y leyes de KeplerSelectividad (PAU) · Comunitat Valenciana 2020 · Septiembre

Comunitat Valenciana · 2020 · Septiembre
Enunciado
El proyecto Starlink ha colocado en órbita circular alrededor de la Tierra unos 300 satélites para comunicaciones, que son fácilmente visibles desde la superficie de la Tierra. Sabiendo que la velocidad de uno de dichos satélites es de 7,6 km/s7{,}6\,\text{km/s}:

a) Calcula la altura hh a la que se encuentra desde la superficie terrestre (en kilómetros). (1 punto)

b) ¿Cuántas órbitas circulares completas describe el satélite en un día? (1 punto)

Datos: constante de gravitación universal, G=6,67⋅10−11 N m2/kg2G = 6{,}67\cdot10^{-11}\,\text{N m}^2/\text{kg}^2; masa de la Tierra, MT=6⋅1024 kgM_T = 6\cdot10^{24}\,\text{kg}; radio de la Tierra, RT=6400 kmR_T = 6400\,\text{km}.
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Resultado
a) r=GMT/v2=6,93⋅106 mr = GM_T/v^2 = 6{,}93\cdot10^{6}\,\text{m}; la altura es h=r−RT≈529 kmh = r - R_T \approx 529\,\text{km}.

b) T=2πr/v=5,73⋅103 sT = 2\pi r/v = 5{,}73\cdot10^{3}\,\text{s} (unos 95 min); en un día da 86 400/5728=15,186\,400/5728 = 15{,}1 vueltas, es decir, 15 órbitas completas.
Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo
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Estrategia

En una órbita circular la única fuerza sobre el satélite es la gravitatoria, y es la que le hace girar: hace de fuerza centrípeta. Igualándolas obtenemos la relación entre la velocidad y el radio de la órbita, de la que despejamos el radio; restando el radio terrestre sale la altura. Con el radio y la velocidad, el periodo es la longitud de la circunferencia entre la velocidad, y basta con ver cuántos periodos caben en un día.
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Desarrollo

a) Segunda ley de Newton en la órbita. La fuerza gravitatoria es la fuerza centrípeta del movimiento circular uniforme:G MT mr2=m v2rG\,\frac{M_T\,m}{r^2} = m\,\frac{v^2}{r}Radio de la órbita. Simplificando la masa del satélite y despejando rr:r=G MTv2=6,67⋅10−11⋅6⋅1024(7,6⋅103)2=4,00⋅10145,78⋅107=6,93⋅106 mr = \frac{G\,M_T}{v^2} = \frac{6{,}67\cdot10^{-11}\cdot6\cdot10^{24}}{(7{,}6\cdot10^{3})^2} = \frac{4{,}00\cdot10^{14}}{5{,}78\cdot10^{7}} = 6{,}93\cdot10^{6}\,\text{m}Altura sobre la superficie.h=r−RT=6,93⋅106−6,40⋅106=5,29⋅105 m≈529 kmh = r - R_T = 6{,}93\cdot10^{6} - 6{,}40\cdot10^{6} = 5{,}29\cdot10^{5}\,\text{m} \approx 529\,\text{km}Es una órbita baja, de unos 500 km, por eso estos satélites se ven bien desde el suelo.
Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)
b) Periodo de la órbita. En un movimiento circular uniforme el satélite recorre una circunferencia de longitud 2πr2\pi r en un periodo TT:T=2π rv=2π⋅6,93⋅1067,6⋅103=5,73⋅103 s≈95 minT = \frac{2\pi\,r}{v} = \frac{2\pi\cdot6{,}93\cdot10^{6}}{7{,}6\cdot10^{3}} = 5{,}73\cdot10^{3}\,\text{s} \approx 95\,\text{min}Vueltas en un día. Un día tiene 24⋅3600=86 400 s24\cdot3600 = 86\,400\,\text{s}:N=86 4005,73⋅103=15,1N = \frac{86\,400}{5{,}73\cdot10^{3}} = 15{,}1Describe 15 órbitas completas en un día (y empieza la decimosexta).
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Consejo

Escribe primero la igualdad entre la fuerza gravitatoria y la centrípeta (0,2 puntos) y despeja rr en letras (0,4 puntos) antes de poner números: el criterio puntúa más la expresión que el resultado.

No te olvides de restar el radio terrestre (piden la altura, no el radio) y de pasar la velocidad a m/s. En b) piden órbitas completas: la respuesta es 15, no 15,1.
Paso 1 de 3
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