Problema resuelto de Física: Núcleo atómico y reacciones nuclearesSelectividad (PAU) · Comunitat Valenciana 2020 · Septiembre

Factor de Lorentz.$$\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - v^2/c^2}} = \frac{1}{\sqrt{1 - 0{,}98^2}} = \frac{1}{\sqrt{0{,}0396}} = 5{,}03$$Tiempo según la observadora del suelo. Para ella el muon recorre $L_0 = 10\,\text{km}$ (la altura medida en reposo respecto a la Tierra) a velocidad constante:$$\Delta t = \frac{L_0}{v} = \frac{1\cdot10^{4}}{0{,}98\cdot3\cdot10^{8}} = 3{,}40\cdot10^{-5}\,\text{s} = 34{,}0\,\mu\text{s}$$Tiempo según la observadora que viaja con el muon. Los dos sucesos (creación del muon y llegada al suelo) ocurren en el mismo punto para ella: mide el tiempo propio $\Delta t_0$. La dilatación del tiempo relaciona los dos:$$\Delta t = \gamma\,\Delta t_0 \quad\Longrightarrow\quad \Delta t_0 = \frac{\Delta t}{\gamma} = \frac{3{,}40\cdot10^{-5}}{5{,}03} = 6{,}77\cdot10^{-6}\,\text{s} = 6{,}77\,\mu\text{s}$$Altura según la observadora del muon. Para ella la atmósfera y la Tierra se mueven a $0{,}98\,c$, y la longitud en la dirección del movimiento se contrae:$$L = \frac{L_0}{\gamma} = \frac{1\cdot10^{4}}{5{,}03} = 1{,}99\cdot10^{3}\,\text{m} \approx 2\,\text{km}$$Comprobación. Con su tiempo y su distancia sale la misma velocidad relativa: $L/\Delta t_0 = 1990/6{,}77\cdot10^{-6} = 2{,}94\cdot10^{8}\,\text{m/s} = 0{,}98\,c$. Las dos descripciones son coherentes: en el suelo se dice que el reloj del muon va más lento; en el muon, que la atmósfera es más delgada.