Problema resuelto de Física: Campo y potencial eléctricoSelectividad (PAU) · Comunitat Valenciana 2020 · Septiembre

Teorema de Gauss. El flujo del campo eléctrico a través de cualquier superficie cerrada $S$ es igual a la carga neta encerrada en su interior dividida por la permitividad del vacío:$$\Phi_E = \oint_S \vec E\cdot d\vec S = \frac{Q_{\text{int}}}{\varepsilon_0}$$No depende de la forma ni del tamaño de la superficie, ni de las cargas que haya fuera (su campo entra y sale de la superficie, y su flujo neto es nulo).

Qué carga encierra la esfera. La esfera está centrada en $O$ y tiene radio $0{,}5\,\text{cm}$. La carga $q_1$ está en su centro: dentro. La carga $q_2$ está a $1\,\text{cm}$ de $O$, más lejos que el radio: fuera. Entonces $Q_{\text{int}} = q_1$.

Flujo a través de la esfera.$$\Phi_E = \frac{q_1}{\varepsilon_0} = \frac{8{,}9\cdot10^{-6}}{8{,}9\cdot10^{-12}} = 1\cdot10^{6}\,\text{N m}^2/\text{C}$$Es positivo: el flujo sale de la superficie, porque la carga encerrada es positiva.

Y con un cubo. Tomamos el cubo de lado $0{,}5\,\text{cm}$ centrado en $O$, como la esfera. Sus puntos más alejados de $O$ (los vértices) están a media diagonal:$$\frac{\sqrt3}{2}\cdot0{,}5 = 0{,}43\,\text{cm} < 1\,\text{cm}$$así que $q_1$ sigue dentro y $q_2$ sigue fuera. La carga encerrada es la misma y, por el teorema de Gauss, el flujo no depende de la forma de la superficie: no cambia, sigue siendo $1\cdot10^6\,\text{N m}^2/\text{C}$.

Lo que sí cambia de una superficie a otra es cómo se reparte el campo por ella (en la esfera el campo de $q_1$ es perpendicular y de módulo constante; en el cubo, no), pero el flujo total es el mismo.