Problema resuelto de Física: Satélites, órbitas y leyes de KeplerSelectividad (PAU) · Comunitat Valenciana 2020 · Septiembre

Trabajo de una fuerza. El trabajo que realiza una fuerza $\vec F$ cuando su punto de aplicación se desplaza de $A$ a $B$ es$$W_{A\to B} = \int_A^B \vec F\cdot d\vec r = \int_A^B F\,dr\,\cos\alpha$$donde $\alpha$ es el ángulo entre la fuerza y el desplazamiento en cada punto. Si la fuerza es constante y el camino recto, queda $W = F\,d\cos\alpha$.

Fuerza conservativa y energía potencial. Una fuerza es conservativa cuando su trabajo entre dos puntos no depende del camino seguido, solo de los puntos inicial y final (o, lo que es lo mismo, su trabajo en cualquier camino cerrado es nulo). Entonces se puede definir una energía potencial $E_p$ tal que$$W_{A\to B} = -\Delta E_p = E_p(A) - E_p(B)$$El trabajo de la fuerza conservativa es igual a la disminución de la energía potencial.

Un cuarto de órbita. En una órbita circular la fuerza gravitatoria apunta siempre hacia el centro de la Tierra, y el desplazamiento del satélite es tangente a la circunferencia: forman $90^\circ$ en todo momento.$$\vec F\cdot d\vec r = F\,dr\cos 90^\circ = 0 \quad\Longrightarrow\quad W_{1/4} = 0$$Lo mismo sale con la energía potencial: $E_p = -\dfrac{G\,M_T\,m}{r}$ solo depende de la distancia $r$, que en la órbita circular es constante. Al ir de un punto a otro de la órbita $\Delta E_p = 0$, luego $W = -\Delta E_p = 0$.

Una órbita completa. El satélite vuelve al punto de partida: es un camino cerrado. Como la fuerza gravitatoria es conservativa, su trabajo en un camino cerrado es nulo ($E_p$ final $=$ $E_p$ inicial). Además sigue siendo perpendicular al desplazamiento en todo el recorrido.$$W_{\text{órbita}} = -\Delta E_p = 0$$Interpretación. Como el trabajo es nulo, por el teorema de las fuerzas vivas la energía cinética no cambia: el satélite gira con rapidez constante. La fuerza gravitatoria solo le cambia la dirección de la velocidad.