Problema resuelto de Física: Satélites, órbitas y leyes de KeplerSelectividad (PAU) · País Vasco 2020 · Julio (ordinaria)

Primera ley (de las órbitas). Los planetas describen órbitas elípticas alrededor del Sol, que ocupa uno de los focos de la elipse.

Segunda ley (de las áreas). El radio vector que une el Sol con un planeta barre áreas iguales en tiempos iguales: la velocidad areolar $dA/dt$ es constante. Por eso el planeta va más deprisa cerca del Sol (perihelio) que lejos (afelio). Es consecuencia de que la fuerza gravitatoria es central: el momento angular del planeta respecto al Sol se conserva, y $dA/dt = L/(2m)$.

Tercera ley (de los periodos). El cuadrado del periodo de revolución de un planeta es proporcional al cubo del semieje mayor de su órbita:$$\frac{T^2}{a^3} = \text{constante (la misma para todos los planetas del Sistema Solar)}$$Deducción para una órbita circular. Un planeta de masa $m$ gira en una órbita circular de radio $r$ alrededor del Sol, de masa $M$. La única fuerza es la gravitatoria, que hace de fuerza centrípeta:$$\frac{G M m}{r^2} = m\,\frac{v^2}{r}\quad\Longrightarrow\quad v^2 = \frac{G M}{r}$$Velocidad en función del periodo. En un movimiento circular uniforme, el planeta recorre la circunferencia en un periodo:$$v = \frac{2\pi r}{T}\quad\Longrightarrow\quad \frac{4\pi^2 r^2}{T^2} = \frac{G M}{r}$$Tercera ley. Reordenando:$$T^2 = \frac{4\pi^2}{G M}\,r^3\quad\Longrightarrow\quad \frac{T^2}{r^3} = \frac{4\pi^2}{G M}$$La constante $4\pi^2/(GM)$ no depende del planeta (su masa $m$ se ha simplificado), solo de la masa del astro central. Por eso vale lo mismo para todos los planetas del Sol, y otra distinta para los satélites de la Tierra o las lunas de Júpiter. Esta relación permite, por ejemplo, calcular la masa del Sol a partir del radio y el periodo de la órbita terrestre.