Problema resuelto de Física: Campo magnético creado por corrientesSelectividad (PAU) · País Vasco 2020 · Julio (ordinaria)

Sistema de referencia. Dibujamos los hilos verticales en el plano del papel, con $I_1$ a la izquierda ($x = 0$), $I_2$ a la derecha ($x = d$) y las corrientes hacia arriba ($+\vec\jmath$). Tomamos $\vec k$ saliendo del papel. Un punto P entre los hilos está a $r_1 = x$ del hilo 1 y a $r_2 = d - x$ del hilo 2.

Sentido de cada campo (corrientes en el mismo sentido). Con la mano derecha (pulgar en el sentido de la corriente): a la derecha del hilo 1 su campo entra en el papel ($-\vec k$); a la izquierda del hilo 2 su campo sale del papel ($+\vec k$).

a) En el punto medio, $r_1 = r_2 = d/2$:$$B_1 = \frac{\mu_0 I_1}{2\pi (d/2)} = \frac{\mu_0 I_1}{\pi d}\qquad B_2 = \frac{\mu_0 (4I_1)}{2\pi (d/2)} = \frac{4\mu_0 I_1}{\pi d}$$Superposición. Como son opuestos, el resultante tiene el sentido del mayor ($\vec B_2$):$$\vec B = (B_2 - B_1)\,\vec k = \frac{3\mu_0 I_1}{\pi d}\,\vec k = \frac{3\cdot 4\pi\cdot 10^{-7}\, I_1}{\pi d}\,\vec k = 1{,}2\cdot 10^{-6}\,\frac{I_1}{d}\,\vec k\ \ \text{T}$$(con $I_1$ en amperios y $d$ en metros). Dirección perpendicular al plano de los hilos y sentido hacia fuera del papel, el del campo del hilo 2.

b) Condición de campo nulo. Entre los hilos los dos campos son opuestos, así que $\vec B = 0$ donde sus módulos son iguales:$$\frac{\mu_0 I_1}{2\pi x} = \frac{\mu_0 (4I_1)}{2\pi (d - x)}\quad\Longrightarrow\quad d - x = 4x\quad\Longrightarrow\quad x = \frac{d}{5}$$Interpretación. El campo se anula en la recta paralela a los hilos, en su plano, situada a $d/5$ del hilo 1 (y a $4d/5$ del hilo 2): está más cerca del hilo de menor corriente, como cabía esperar.

c) Ahora $I_2$ va hacia abajo. A la izquierda del hilo 2 su campo pasa a entrar en el papel ($-\vec k$), igual que el del hilo 1.

Campo en el punto medio. Los módulos no cambian, pero ahora se suman:$$\vec B = -(B_1 + B_2)\,\vec k = -\frac{5\mu_0 I_1}{\pi d}\,\vec k = -2{,}0\cdot 10^{-6}\,\frac{I_1}{d}\,\vec k\ \ \text{T}$$Dirección perpendicular al plano de los hilos y sentido hacia dentro del papel.

Puntos de campo nulo. Entre los hilos los dos campos tienen el mismo sentido, así que su suma no se anula en ningún punto entre ellos.

(Fuera de la región que pide el enunciado sí habría un punto: a la izquierda del hilo 1, a una distancia $x$ de él, los campos son opuestos y $\dfrac{I_1}{x} = \dfrac{4I_1}{x + d}$ da $x = d/3$. No se pide, pero muestra que con corrientes opuestas el campo nulo está fuera de los hilos, del lado de la corriente menor.)