Problema resuelto de Física: Campo y potencial gravitatorioSelectividad (PAU) · País Vasco 2020 · Julio (extraordinaria)

Ley de Gravitación Universal. Newton (1687) propuso que dos masas cualesquiera se atraen con una fuerza dirigida a lo largo de la recta que las une, directamente proporcional al producto de sus masas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que las separa:$$\vec F_{12} = -G\,\frac{m_1\,m_2}{r^2}\,\vec u_{r}$$donde $\vec F_{12}$ es la fuerza que $m_1$ ejerce sobre $m_2$, $r$ la distancia entre ellas, $\vec u_r$ el vector unitario que va de $m_1$ a $m_2$ (el signo menos indica que la fuerza es atractiva, hacia $m_1$) y $G = 6{,}67\cdot 10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$ la constante de gravitación universal. Sus características: es siempre atractiva, es universal (actúa entre cualquier par de masas), es una fuerza central y conservativa, cumple el principio de acción y reacción ($\vec F_{21} = -\vec F_{12}$) y es muy débil (por el pequeño valor de $G$), por eso solo se nota cuando al menos una de las masas es enorme.

Concepto de campo. Una masa modifica las propiedades del espacio que la rodea: crea un campo gravitatorio. Cualquier otra masa colocada en ese espacio nota una fuerza. Así se evita la idea de «acción a distancia»: la masa que siente la fuerza interacciona con el campo que hay en su posición.

Intensidad del campo gravitatorio. Es la fuerza que el campo ejerce sobre la unidad de masa colocada en un punto:$$\vec g = \frac{\vec F}{m}\qquad [\vec g] = \text{N/kg} = \text{m/s}^2$$Es un campo vectorial: en cada punto tiene módulo, dirección y sentido. Conocido $\vec g$, la fuerza sobre cualquier masa $m$ es $\vec F = m\,\vec g$.

Campo creado por una masa puntual. Dividiendo la ley de Newton entre la masa de prueba:$$\vec g = -G\,\frac{M}{r^2}\,\vec u_r\qquad g = G\,\frac{M}{r^2}$$Su dirección es radial y su sentido hacia la masa $M$ que lo crea; su módulo disminuye con el cuadrado de la distancia. Las líneas de campo son rectas radiales que convergen en la masa (el campo es un sumidero), y las superficies equipotenciales, esferas centradas en ella. Si hay varias masas, el campo total es la suma vectorial de los campos de cada una (principio de superposición).

Masa esférica. Una esfera homogénea (o formada por capas homogéneas) crea en el exterior el mismo campo que si toda su masa estuviera concentrada en su centro. Por eso la expresión anterior vale para planetas y estrellas en puntos exteriores, con $r$ medida desde el centro.

Ejemplo: el campo gravitatorio terrestre. Con $M_T = 5{,}97\cdot 10^{24}\ \text{kg}$ y $R_T = 6{,}37\cdot 10^{6}\ \text{m}$, en la superficie:$$g_0 = G\,\frac{M_T}{R_T^2} = 6{,}67\cdot 10^{-11}\cdot\frac{5{,}97\cdot 10^{24}}{(6{,}37\cdot 10^{6})^2} \approx 9{,}8\ \text{m/s}^2$$A una altura $h$ el campo disminuye:$$g(h) = G\,\frac{M_T}{(R_T + h)^2} = g_0\,\frac{R_T^2}{(R_T + h)^2}$$Por ejemplo, a $h = R_T$ (dos radios del centro) vale $g_0/4 \approx 2{,}45\ \text{m/s}^2$. Cerca de la superficie ($h \ll R_T$) se puede tomar $g$ constante, y así se obtiene el peso $P = m\,g_0$ y la energía potencial $mgh$. Otro ejemplo: el campo de la Luna en su superficie es unas seis veces menor que el terrestre ($\approx 1{,}6\ \text{m/s}^2$), porque su masa es mucho menor aunque su radio también lo sea. Y es el campo terrestre el que mantiene en órbita a la Luna y a los satélites artificiales.