FísicaMedioProblema · 3 pts

Problema resuelto de Física: Ondas mecánicas: armónicas y estacionariasSelectividad (PAU) · País Vasco 2020 · Julio (extraordinaria)

Enunciado

Una onda transversal que se propaga por una cuerda muy larga en el sentido positivo del eje de las OX tiene un periodo de

0{,}5\ \text{s}

, longitud de onda

160\ \text{cm}

y una amplitud de

80\ \text{cm}

. En el momento inicial, la amplitud de la onda y la fase inicial son nulas en el punto

x = 0\ \text{m}

.

a) Escribe la ecuación de onda.

b) Calcula la velocidad de propagación.

c) Escribe cuál será la velocidad transversal en función del tiempo en la posición

x = 160\ \text{cm}

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

y(x,t) = 0{,}8\sin(4\pi t - 1{,}25\pi x)

en el SI (

\omega = 4\pi\ \text{rad/s}

k = 1{,}25\pi\ \text{rad/m}

).

b)

v = 3{,}2\ \text{m/s}

.

c)

v_y(1{,}6,\,t) = 3{,}2\pi\cos(4\pi t - 2\pi) = 3{,}2\pi\cos(4\pi t) \approx 10{,}1\cos(4\pi t)\ \text{m/s}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Una onda armónica que avanza hacia

+X

se escribe

y(x,t) = A\sin(\omega t - kx + \varphi_0)

: el signo menos entre

\omega t

kx

es el que indica el sentido positivo. Solo hay que calcular

\omega

a partir del periodo y

k

a partir de la longitud de onda, pasando antes los centímetros a metros.

La condición inicial («en

t = 0

x = 0

la elongación y la fase son nulas») fija

\varphi_0 = 0

.

La velocidad de propagación es lo que avanza la onda en un periodo,

\lambda/T

. La velocidad transversal, en cambio, es la de vibración de cada punto de la cuerda: la derivada de

y

respecto al tiempo con

x

fijo. Son dos velocidades distintas y conviene no mezclarlas.

Desarrollo

Datos en el SI.

A = 0{,}80\ \text{m}

\lambda = 1{,}60\ \text{m}

T = 0{,}5\ \text{s}

.

a) Frecuencia angular y número de onda.

\omega = \frac{2\pi}{T} = \frac{2\pi}{0{,}5} = 4\pi\ \text{rad/s}\qquad k = \frac{2\pi}{\lambda} = \frac{2\pi}{1{,}6} = 1{,}25\pi \approx 3{,}93\ \text{rad/m}

Fase inicial. En

x = 0

t = 0

la elongación es nula y la fase también, así que

\varphi_0 = 0

(con la función seno,

y(0,0) = A\sin 0 = 0

).

Ecuación de la onda. Hacia

+X

, con signo menos entre los dos términos:

y(x,t) = 0{,}8\,\sin\left(4\pi\,t - 1{,}25\pi\,x\right)\quad(\text{SI})

b) Velocidad de propagación.

v = \frac{\lambda}{T} = \frac{1{,}6}{0{,}5} = 3{,}2\ \text{m/s}

(Lo mismo da

v = \omega/k = 4\pi/1{,}25\pi = 3{,}2\ \text{m/s}

.)

c) Velocidad transversal. Derivamos respecto al tiempo con

x

fijo:

v_y(x,t) = \frac{\partial y}{\partial t} = 0{,}8\cdot 4\pi\,\cos\left(4\pi\,t - 1{,}25\pi\,x\right) = 3{,}2\pi\,\cos\left(4\pi\,t - 1{,}25\pi\,x\right)\ \text{m/s}

En $x = 160\ \text{cm} = 1{,}6\ \text{m}$ : el término espacial vale

1{,}25\pi\cdot 1{,}6 = 2\pi

v_y(1{,}6,\,t) = 3{,}2\pi\,\cos\left(4\pi\,t - 2\pi\right) = 3{,}2\pi\,\cos(4\pi\,t) \approx 10{,}1\,\cos(4\pi\,t)\ \text{m/s}

Interpretación. El punto

x = 1{,}6\ \text{m}

está exactamente a una longitud de onda del origen, así que vibra en fase con él: su velocidad es la misma que la del punto

x = 0

en cada instante. La velocidad máxima de vibración,

A\omega = 3{,}2\pi \approx 10{,}1\ \text{m/s}

, es mayor que la de propagación (3,2 m/s): no hay ninguna contradicción, porque son velocidades de cosas distintas.

Consejo

Dos fallos clásicos: escribir $+kx$ para una onda que va hacia $+X$ (el signo positivo es para la que va hacia $-X$ ) y dejar $\lambda$ y $A$ en centímetros mientras el tiempo va en segundos.

En el apartado c) piden la velocidad transversal (la de un punto de la cuerda), no la de propagación: se obtiene derivando $y$ respecto a $t$ , y depende del tiempo.