FísicaFácilProblema · 3 pts

Movimiento de cargas: fuerza de LorentzSelectividad (PAU) · País Vasco 2020 · Julio (extraordinaria)

País Vasco · 2020 · Julio (extraordinaria)
Enunciado
Una partícula con carga 1 μC1\ \mu\text{C} se mueve con velocidad v⃗=2⋅106 j⃗ m/s\vec v = 2\cdot 10^{6}\,\vec{j}\ \text{m/s} y entra en una zona donde existe un campo magnético de valor B⃗=2⋅10−4 i⃗ T\vec B = 2\cdot 10^{-4}\,\vec{i}\ \text{T}.

a) Determinar el valor de la fuerza magnética ejercida por el campo sobre la partícula.

b) Dibujar los vectores correspondientes a la velocidad de la partícula, al campo magnético y a la fuerza magnética.

c) Calcular la masa de la partícula sabiendo que describe una trayectoria circular de radio 2⋅10−10 km2\cdot 10^{-10}\ \text{km}.
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Resultado
a) F⃗=−4⋅10−4 k⃗ N\vec F = -4\cdot 10^{-4}\,\vec k\ \text{N}; F=4⋅10−4 NF = 4\cdot 10^{-4}\ \text{N}.

b) v⃗\vec v según +Y+Y, B⃗\vec B según +X+X y F⃗\vec F según −Z-Z, perpendiculares entre sí.

c) m=2⋅10−23 kgm = 2\cdot 10^{-23}\ \text{kg}.
Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo
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Estrategia

La fuerza que un campo magnético ejerce sobre una carga en movimiento es la fuerza de Lorentz, F⃗=q (v⃗×B⃗)\vec F = q\,(\vec v\times\vec B). Como la velocidad (eje Y) y el campo (eje X) son perpendiculares, el módulo es simplemente qvBqvB, y la dirección la da el producto vectorial j⃗×i⃗\vec j\times\vec i.

Esa fuerza es siempre perpendicular a la velocidad: no cambia el módulo de v⃗\vec v, solo su dirección, así que la partícula describe una circunferencia. La fuerza de Lorentz hace de fuerza centrípeta, y de ahí se despeja la masa. Antes, el radio al SI: 2⋅10−10 km=2⋅10−7 m2\cdot 10^{-10}\ \text{km} = 2\cdot 10^{-7}\ \text{m}.
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Desarrollo

a) Fuerza de Lorentz. Con q=1⋅10−6 Cq = 1\cdot 10^{-6}\ \text{C}:F⃗=q (v⃗×B⃗)=1⋅10−6(2⋅106 j⃗×2⋅10−4 i⃗)\vec F = q\,(\vec v\times\vec B) = 1\cdot 10^{-6}\left(2\cdot 10^{6}\,\vec j\times 2\cdot 10^{-4}\,\vec i\right)Como j⃗×i⃗=−k⃗\vec j\times\vec i = -\vec k:F⃗=1⋅10−6⋅2⋅106⋅2⋅10−4 (−k⃗)=−4⋅10−4 k⃗ N\vec F = 1\cdot 10^{-6}\cdot 2\cdot 10^{6}\cdot 2\cdot 10^{-4}\,(-\vec k) = -4\cdot 10^{-4}\,\vec k\ \text{N}Su módulo es F=qvBsin⁡90∘=4⋅10−4 NF = qvB\sin 90^\circ = 4\cdot 10^{-4}\ \text{N}, dirigida en el sentido negativo del eje Z.

b) Diagrama de vectores. Se dibujan unos ejes X, Y, Z (con Z saliendo del papel, triedro a derechas). En la posición de la partícula:
  • v⃗\vec v, una flecha a lo largo del eje +Y+Y;
  • B⃗\vec B, una flecha a lo largo del eje +X+X;
  • F⃗\vec F, una flecha a lo largo del eje −Z-Z (entrando en el papel si X e Y están en el plano del papel; se marca con el símbolo ⊗\otimes).
Los tres vectores son perpendiculares entre sí. Se comprueba con la regla de la mano derecha: girando los dedos de v⃗\vec v (+Y+Y) hacia B⃗\vec B (+X+X) el pulgar apunta a −Z-Z, y como la carga es positiva la fuerza tiene ese mismo sentido.

c) La fuerza magnética es la centrípeta. Como v⃗⊥B⃗\vec v\perp\vec B, la partícula gira en un plano perpendicular a B⃗\vec B (el plano YZ):q v B=m v2R⟹m=q B Rvq\,v\,B = m\,\frac{v^2}{R}\quad\Longrightarrow\quad m = \frac{q\,B\,R}{v}Sustitución con R=2⋅10−10 km=2⋅10−7 mR = 2\cdot 10^{-10}\ \text{km} = 2\cdot 10^{-7}\ \text{m}:m=1⋅10−6⋅2⋅10−4⋅2⋅10−72⋅106=2⋅10−23 kgm = \frac{1\cdot 10^{-6}\cdot 2\cdot 10^{-4}\cdot 2\cdot 10^{-7}}{2\cdot 10^{6}} = 2\cdot 10^{-23}\ \text{kg}
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Consejo

El orden del producto vectorial importa: v⃗×B⃗\vec v\times\vec B, no B⃗×v⃗\vec B\times\vec v. Con j⃗×i⃗\vec j\times\vec i sale −k⃗-\vec k; si te sale +k⃗+\vec k has invertido el orden. Recuerda el ciclo i⃗→j⃗→k⃗\vec i\to\vec j\to\vec k: a favor del ciclo es ++, en contra es −-.

En el apartado c) el dato viene en kilómetros a propósito: pásalo a metros antes de sustituir.
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