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Ondas mecánicas: armónicas y estacionarias

Comunidad de Madrid · 2020 · Julio (coincidentes)

Enunciado

Una onda transversal que se propaga a lo largo de una cuerda en la dirección del eje

x

en sentido positivo tiene un periodo de

0{,}4\,\text{s}

y una longitud de onda de

1\,\text{m}

. En el instante

t = 0

la partícula situada en la posición

x = 0

tiene un desplazamiento vertical de

-0{,}1\,\text{m}

y una velocidad de oscilación nula. Determine:

a) La expresión matemática de la onda.

b) La velocidad de oscilación de la partícula situada en el punto

x = 0{,}4\,\text{m}

en el instante

t = 2\,\text{s}

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;y(x,t) = 0{,}1\,\text{sen}\left(5\pi t - 2\pi x - \frac{\pi}{2}\right)\ \text{m}\;}

\boxed{\;v_y(0{,}4\ \text{m};\,2\ \text{s}) = -0{,}92\ \text{m}\,\text{s}^{-1}\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

En a) se parte de

y(x,t) = A\,\text{sen}(\omega t - kx + \varphi_0)

(signo

-kx

porque avanza hacia

+x

\omega

k

salen del periodo y de la longitud de onda. Quedan

A

\varphi_0

, y para eso están las dos condiciones del origen: si la velocidad de oscilación es nula, el punto está en un extremo, así que

|y| = A

; y como

y = -0{,}1\,\text{m}

, está en el extremo inferior:

A = 0{,}1\,\text{m}

\text{sen}\,\varphi_0 = -1

.

En b) se deriva respecto del tiempo y se sustituye, con la calculadora en radianes.

Desarrollo

a) Frecuencia angular y número de onda:

\omega = \frac{2\pi}{T} = \frac{2\pi}{0{,}4} = 5\pi\ \text{rad}\,\text{s}^{-1}\qquad k = \frac{2\pi}{\lambda} = 2\pi\ \text{rad}\,\text{m}^{-1}

Condiciones en

x = 0

t = 0

y(0,0) = A\,\text{sen}\,\varphi_0 = -0{,}1\ \text{m}\qquad v_y(0,0) = A\omega\cos\varphi_0 = 0

De la segunda,

\cos\varphi_0 = 0

, es decir,

\varphi_0 = \pm\pi/2

; la primera exige

\text{sen}\,\varphi_0 < 0

, así que

\varphi_0 = -\pi/2

A = 0{,}1\,\text{m}

y(x,t) = 0{,}1\,\text{sen}\left(5\pi t - 2\pi x - \frac{\pi}{2}\right)\ \text{m}

(que también se puede escribir

y = -0{,}1\cos(5\pi t - 2\pi x)

m).

b) Velocidad de oscilación:

v_y(x,t) = \frac{\partial y}{\partial t} = 0{,}1\cdot 5\pi\cos\left(5\pi t - 2\pi x - \frac{\pi}{2}\right) = 0{,}5\pi\cos\left(5\pi t - 2\pi x - \frac{\pi}{2}\right)\ \text{m}\,\text{s}^{-1}

x = 0{,}4\,\text{m}

t = 2\,\text{s}

la fase vale

10\pi - 0{,}8\pi - 0{,}5\pi = 8{,}7\pi

, que equivale a

0{,}7\pi

(se pueden quitar vueltas enteras):

v_y(0{,}4;\,2) = 0{,}5\pi\cos(0{,}7\pi) = 0{,}5\pi\cdot(-0{,}588) = -0{,}92\ \text{m}\,\text{s}^{-1}

El punto baja en ese instante (está en

y = +0{,}081\,\text{m}

, por encima del equilibrio).

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

«Velocidad de oscilación nula» quiere decir que el punto está en un extremo: es la pista para que la amplitud sea el valor absoluto del desplazamiento. El signo del desplazamiento elige entre $+\pi/2$ y $-\pi/2$ .

Antes de evaluar un coseno, quita las vueltas completas de la fase ( $8{,}7\pi \to 0{,}7\pi$ ) y asegúrate de que la calculadora está en radianes.