FísicaFácil2 pts

Satélites, órbitas y leyes de Kepler

Comunidad de Madrid · 2020 · Julio (coincidentes)
Enunciado
Un satélite de 6000 kg6000\,\text{kg} de masa describe una órbita circular de radio 6,97⋅106 m6{,}97\cdot 10^{6}\,\text{m} alrededor de la Tierra. Si su periodo de revolución es de 96,596{,}5 minutos, calcule:

a) La constante de gravitación universal GG.

b) La energía del satélite en dicha órbita.

Dato: Masa de la Tierra, MT=5,98⋅1024 kgM_T = 5{,}98\cdot 10^{24}\,\text{kg}.
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Resultado
  G=6,67⋅10−11 N m2 kg−2  \boxed{\;G = 6{,}67\cdot 10^{-11}\ \text{N}\,\text{m}^2\,\text{kg}^{-2}\;}  Em=−1,72⋅1011 J  \boxed{\;E_m = -1{,}72\cdot 10^{11}\ \text{J}\;}
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Estrategia

El problema va al revés de lo habitual: en vez de dar GG y pedir el periodo, da el periodo y pide GG. La física es la misma: en una órbita circular la atracción gravitatoria es la fuerza centrípeta, lo que lleva a la tercera ley de Kepler, T2=4π2GMTr3T^2 = \dfrac{4\pi^2}{GM_T}r^3. En a) basta con despejar GG (periodo en segundos).

En b) «la energía del satélite» es su energía mecánica: en órbita circular, Em=Ec+Ep=−GMTm2rE_m = E_c + E_p = -\dfrac{GM_Tm}{2r}, o lo que es lo mismo, −12mv2-\tfrac12 mv^2.
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Desarrollo

a) Periodo en segundos: T=96,5⋅60=5790 sT = 96{,}5\cdot 60 = 5790\,\text{s}. Velocidad orbital:v=2πrT=2π⋅6,97⋅1065790=7,56⋅103 m s−1v = \frac{2\pi r}{T} = \frac{2\pi\cdot 6{,}97\cdot 10^{6}}{5790} = 7{,}56\cdot 10^{3}\ \text{m}\,\text{s}^{-1}Igualando la fuerza gravitatoria a la centrípeta:GMTmr2=mv2r⟹G=v2rMT=4π2r3MTT2=4π2(6,97⋅106)35,98⋅1024⋅57902=6,67⋅10−11 N m2 kg−2\frac{GM_Tm}{r^2} = \frac{mv^2}{r}\quad\Longrightarrow\quad G = \frac{v^2 r}{M_T} = \frac{4\pi^2 r^3}{M_T T^2} = \frac{4\pi^2\left(6{,}97\cdot 10^{6}\right)^3}{5{,}98\cdot 10^{24}\cdot 5790^2} = 6{,}67\cdot 10^{-11}\ \text{N}\,\text{m}^2\,\text{kg}^{-2}Sale el valor de GG que se usa siempre, como debe ser.
Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)
(En la simulación el radio de la Tierra es el real, 6371 km6371\,\text{km}, que el enunciado no da: el satélite está a unos 600 km600\,\text{km} de altura.)

b) Energía mecánica en la órbita:Em=−GMTm2r=−6,67⋅10−11⋅5,98⋅1024⋅60002⋅6,97⋅106=−1,72⋅1011 JE_m = -\frac{GM_Tm}{2r} = -\frac{6{,}67\cdot 10^{-11}\cdot 5{,}98\cdot 10^{24}\cdot 6000}{2\cdot 6{,}97\cdot 10^{6}} = -1{,}72\cdot 10^{11}\ \text{J}Comprobación: −12mv2=−12⋅6000⋅(7,56⋅103)2=−1,72⋅1011 J-\tfrac12 mv^2 = -\tfrac12\cdot 6000\cdot\left(7{,}56\cdot 10^{3}\right)^2 = -1{,}72\cdot 10^{11}\,\text{J}. Es negativa porque el satélite está ligado a la Tierra.
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Consejo

Despeja GG con la expresión 4π2r3MT2\dfrac{4\pi^2 r^3}{MT^2} en lugar de pasar por la velocidad: redondeas una vez menos. Y si te sale algo muy distinto de 6,67⋅10−116{,}67\cdot 10^{-11}, revisa el periodo: casi seguro lo has dejado en minutos.

En órbita circular, Ec=−EmE_c = -E_m y Ep=2EmE_p = 2E_m: con una de las tres tienes las otras dos.
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